Вариант № 37845506
Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №1
Задание 1 № 561163
В квартире установлен прибор учёта расхода горячей воды (счётчик). Показания на 1 марта составляли 548 м3 воды, а 1 апреля — 556 м3. Сколько нужно заплатить за горячую воду за март, если стоимость 1 м3 горячей воды составляет 191 руб. 50 коп.?
Решение.
Расход воды составил 556 − 548 = 8 м3. Поэтому нужно заплатить 8 · 191,5 = 1532 руб.
Ответ: 1532.
Ответ: 1532
Задание 2 № 561164
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в городе N за каждый месяц 2019 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 8 градусов Цельсия?
Решение.
Из диаграммы видно, что 4 месяца среднемесячная температура превышала 8 градусов Цельсия.
Ответ: 4.
Ответ: 4
Задание 3 № 561165
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены две точки A и B. Найдите длину отрезка AB.
Решение.
Расстояние между точками A и B равно длине гипотенузы треугольника ABC, катеты которого равны 12 и 5. Поэтому искомая длина AB равна 13.
Ответ: 13.
Ответ: 13
Задание 4 № 561166
Перед началом турнира по шахматам участников случайным образом разбивают на пары с помощью жребия. Всего зарегистрировано 26 шахматистов, среди которых 18 спортсменов из Санкт-Петербурга, в том числе и Алексей Журавлёв. Найдите вероятность, что Алексей Журавлёв будет играть с шахматистом из Санкт-Петербурга.
Решение.
В первом туре Алексей Журавлёв может сыграть с 26 − 1 = 25 шахматистами, из которых 18 − 1 = 17 из Санкт-Петербурга. Значит, вероятность того, что в первом туре Алексей Журавлёв будет играть с каким-либо шахматистом из Санкт-Петербурга, равна
Ответ: 0,68.
Ответ: 0,68
Задание 5 № 561167
Найдите корень уравнения:
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: 109.
Ответ: 109
Задание 6 № 561168
В треугольнике ABC угол B — тупой, AB = 5, BC = 6. Найдите величину угла, противолежащего стороне AC, если площадь треугольника равна 7,5. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Выразим величину угла B из формулы площади треугольника:
Ответ: 150.
Ответ: 150
Задание 7 № 561169
Прямая y = −5 x + 2 параллельна касательной к графику функции y = x 2 + 5 x + 3. Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения:
Ответ: −5.
Ответ: -5
Задание 8 № 561170
Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличится в 4 раза, а высота останется прежней?
Решение.
Объем конуса равен
где — площадь основания, —высота конуса, а — радиус основания. При увеличении радиуса основания в 4 раза объем конуса увеличится в 16 раз.
Ответ: 16.
Ответ: 16
Задание 9 № 561171
Вычислите
Решение.
Выполним преобразования:
Ответ: 12.
Ответ: 12
Задание 10 № 561172
Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле (м), где м/с — начальная скорость мячика, а — ускорение свободного падения (считайте м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 3,2 м?
Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения:
Таким образом, наименьший угол, при котором мячик перелетит через реку, равен 15 градусам.
Ответ: 15.
Ответ: 15
Задание 11 № 561173
Из пункта А и пункт В, расстояние между которыми 72 км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на 18 км больше, чем велосипедист. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть км/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость мотоциклиста равна км/ч. Велосипедист был в пути на 2 часа больше, отсюда имеем:
Таким образом, скорость велосипедиста была равна 18 км/ч.
Ответ: 18.
Ответ: 18
Задание 12 № 561174
Найдите точку минимума функции
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка минимума
Ответ: −2.
Ответ: -2
Задание 13 № 561175
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде:
Корни уравнения не удовлетворяют условию Тогда получаем:
б) Отберём корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности. Получаем >
Ответ: а) б) >
Задание 14 № 561176
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребрах AA 1 и A 1 C 1 выбраны точки M и N соответственно так, что AM = A 1 N = 2.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ACC 1.
Решение.
а) Пусть H — середина AC, тогда прямая BH перпендикулярна прямой AC по свойству равностороннего треугольника, прямая BH перпендикулярна AA 1 по свойству правильной призмы, таким образом, прямая BH перпендикулярна плоскости ACC 1 по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, значит, точка H — ортогональная проекция точки B на плоскость ACC 1.
Прямоугольные треугольники AMH и A 1 MN равны по двум катетам значит,
Таким образом, проекция прямой BM на плоскость ACC 1 перпендикулярна прямой MN, значит, прямая BM перпендикулярна MN по теореме о трех перпендикулярах.
б) Из рассуждения п. а) угол BMH — искомый, а его тангенс равен отношению BH к MH. Из треугольников ABH, AMH и BMH соответственно находим: откуда
Искомый угол равен
Приведем другое решение.
а) Найдем координаты необходимых точек. M (0; 0; 2), N (2; 0; 5). Координатой точки B по оси y является длина высоты треугольника, которая находится по следующей формуле: (только равносторонний треугольник).
Теперь зададим прямые векторами и найдем скалярное произведение:
прямые перпендикулярны, что и требовалось доказать.
б) Найдем уравнение плоскости BMN
Получаем вектор нормали:
Теперь найдем вектор нормали плоскости ACC 1. Можно сразу его написать, так как из чертежа видно, что ось Oy по сути является нормалью к плоскости
Подставляем все в формулу для угла:
Ответ: б)
Задание 15 № 561177
Решите неравенство
Решение.
Запишем исходное неравенство в виде:
Рассмотрим первый случай:
Рассмотрим второй случай:
Ответ:
Задание 16 № 561178
В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Окружность, описанная около треугольника ACD пересекает сторону AB в точке E.
а) Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника CDE, если AB = 8, BC = 7, AC = 6.
Решение.
а) Дуги DE и CD равны, так как на них опираются равные вписанные углы DAE и DAC, значит, равны и стягивающие их хорды DE и DC, треугольник DCE равнобедренный по определению.
б) Из треугольника ABC по теореме косинусов найдем
Четырехугольник AEDC вписан в окружность, значит, его противолежащие углы в сумме дают 180°. Имеем:
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника
откуда находим, что CD = DE = 3. Теперь найдём площадь треугольника CDE:
Ответ: б)
Задание 17 № 561179
В январе 2020 года Борис взял кредит в банке на сумму 4 200 000 рублей. По договору с банком Борис должен был погасить долг двумя равными платежами в феврале 2021 года и феврале 2022 года, при условии, что в январе 2021 года и январе 2022 года сумма оставшегося долга увеличивается на 10%. В феврале 2021 года Борис сделал первую выплату в соответствии с договором. После этого ему удалось договориться с банком о рефинансировании кредита и уменьшить процент, на который сумма долга вырастет в январе 2022 года, до 7%. Какую сумму сэкономит Борис на рефинансировании своего кредита?
Решение.
Пусть x миллионов рублей составляла ежегодная выплата по изначальному договору, тогда по условию задачи
Величина долга после первой выплаты составляет 4,2 · 1,1 − 2,42 = 2,2 миллионов рублей. Согласно условию, выгода от рефинансирования составляет 3% этой суммы, что составляет 0,03 · 2 200 000 = 66 000 рублей.
Ответ: 66 000 рублей.
Задание 18 № 561180
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Решение.
Положив где и разделив числитель и знаменатель левой части уравнения на получаем уравнение При имеем:
Рассмотрим функцию при Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины этой параболы равна 0,5, значит, функция будет иметь корни на промежутке (0; 1] тогда и только тогда, когда выполняются два условия и (см. рисунок). Окончательно получаем:
откуда
Ответ:
Задание 19 № 561181
Сима записала несколько различных натуральных чисел, все цифры которых четны, после чего нашла сумму этих чисел и обозначила ее через S.
а) Может ли сумма цифр числа S быть нечетным числом?
б) Может ли произведение цифр числа S быть нечетным числом?
в) Пусть десятичная запись числа S состоит из 366 цифр. Какое наименьшее натуральное значение может принимать произведение цифр числа S?
Решение.
а) Да, может, например, если записать числа 4 и 6, их сумма S = 10, сумма цифр этого числа нечетна.
б) Нет, не может: последняя цифра искомой суммы четна, а значит и произведение цифр будет четно.
в) Как было показано в п. б), последняя цифра числа S четна, так что искомое произведение также четно. Следовательно, оно не меньше 2. Рассмотрим число (365 единиц и одна двойка). Оно достигается, если рассмотреть, например, числа 888...8 (365 восьмерок), 222...2 (365 двоек) и 2.
Ответ: а) да; б) нет; в) 2.