Практическое занятие 3
Тема 5. Решение систем линейных уравнений
(ПЗ – 4 ч., СРС – 8 ч.).
Задачи для практической работы
Задача 1. Установлено, что при продольной обточке зависимость скорости резания v от стойкости инструмента T, глубины резания t, подачи s и прочности обрабатываемого материала σ b выражается формулой
,
где Cv, m, yv, xv, kv - коэффициент и показатели степеней независимых переменных T, s, t и σ b соответственно. Величины Cv, m, yv, xv, kv являются неизвестными и зависят от условий обработки.
Для определения значений Cv, m, yv, xv, kv проводят эксперимент, в котором для заданных значений факторов T, s, t и σ b фиксируется скорость обработки v. Используя результаты экспериментальных исследований, приведенные в таблице 1, найти значения величин Cv, m, yv, xv, kv.
Таблица 1. Результаты экспериментальных исследований скорости резания v
| № опыта | Ti, мин | ti, мм | si, мм/об | σ bi, МПа | vi, м/мин |
| 2,0 | 0,084 | 100,0 | |||
| 1,7 | 0,11 | 111,3 | |||
| 1,5 | 0,13 | 119,4 | |||
| 2,0 | 0,17 | 77,1 | |||
| 1,8 | 0,17 | 67,7 |
Задача 2. При продольной обточке зависимость тангенциальной силы резания Pz от скорости резания v, глубины резания t и подачи s выражается формулой
,
где 
, 
, 
, 
- коэффициент и показатели степеней независимых переменных t, s, v соответственно. Величины , , , являются неизвестными и зависят от условий обработки.
Для определения их значений проведен эксперимент, в котором для заданных значений факторов t, s и v измерялась тангенциальная сила резания Px. Используя результаты экспериментальных исследований, приведенные в таблице 2, найти значения , , , .
Таблица 2. Результаты экспериментальных исследований тангенциальной силы резания
| № опыта | ti, мм | si, мм/об | vi, м/мин |  , Н
|
| 2,8 | 0,78 | 60,0 | 3772,5 | |
| 3,2 | 0,95 | 45,0 | 5218,9 | |
| 2,5 | 0,87 | 70,0 | 3572,2 | |
| 1,7 | 1,04 | 90,0 | 2674,3 |
Задача 3. Установлено, что при продольной обточке зависимость осевой силы резания Px от скорости резания v, глубины резания t, подачи s и прочности σ b обрабатываемого материала выражается формулой
,
где 
, 
, 
, 
, 
- коэффициент и показатели степеней независимых переменных t, s, v и σb соответственно. Величины , , , , являются неизвестными и зависят от условий обработки.
Для определения их значений проведен эксперимент, в котором для заданных значений факторов t, s, v и σ b измерялась осевая сила резания Px. Используя результаты опытов (таблица 3), найти значения , , , , .
Таблица 3. Результаты экспериментальных исследований осевой силы резания
| № опыта | vi, м/мин | ti, мм | si, мм/об | σ bi, МПа |  , Н
|
| 100,0 | 3,2 | 0,78 | 1409,8 | ||
| 120,0 | 2,8 | 0,95 | 1022,5 | ||
| 60,0 | 2,6 | 0,87 | 1641,3 | ||
| 50,0 | 1,8 | 1,04 | 1187,5 | ||
| 80,0 | 1,5 | 0,47 | 606,3 |
Таблица 4. Варианты задания
| № варианта | 1, 10 | 2, 11 | 3, 12 | 4, 13 | 5, 14 | 6, 15 | 7, 16 | 8, 17 | 9, 18 |
| № задачи | |||||||||
| Метод решения | Гаусса | итераций | Зейделя | итераций | Зейделя | Гаусса | Зейделя | Гаусса | итераций |
Методическая справка по решению задач 1-3
В задачах 1-3 математические модели, описывающие взаимосвязь исследуемого параметра и факторов процесса обработки, представляют собой степенные функции вида
, (а)
где - A, x, y, z, v – неизвестные коэффициент и показатели степеней независимых переменных B, C, D, E.
Для определения неизвестных величин A, x, y, z, v с использованием опытных данных обычно проводят преобразование степенной зависимости к линейной. Это производится путем перехода от исходной системы координат BCDE к логарифмической ln B, ln C, ln D, ln E, логарифмируя зависимость (а)
. (б)
Подставляя значения исследуемого параметра w и независимых переменных B, C, D, E каждого i -го опыта (i = 0, 1, 2, …, 5) в зависимость (б), получают систему уравнений вида
Введя обозначения x 1 = ln A; x 2 = x; x 3 = y; x 4 = z; x 5 = v; ai 2 = ln Bi; ai 3 = ln Ci; ai 4 = ln Di; ai 5 = ln Ei; ai 6 = ln Wi, приходят к системе линейных алгебраических уравнений с искомыми неизвестными x 1, x 2, x 3, x 4, x 5
(в)
в которой a 11 = a 21 = … = an 1.
Решая полученную систему относительно неизвестных x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, находят искомые показатели степеней x, y, z, v степенной функции (а). Учитывая, что корень x 1 системы уравнений (в) является значением ln A, то коэффициент A выражения (а) вычисляется по формуле A = exp x 1.