С учётом описанной в разделах 2.1 - 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R 1. Мощность источника P постоянна. Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность c является функцией одной переменной - расстояния от центра сфер (радиуса) r. По условию задачи 
. Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной - радиуса r: T = T (r), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле - стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода: T (R 1) = T 1, T (R 2) = T 2.
Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной - радиуса r. Неизвестные функции j (r) и T (r) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид:
. (2.27)
В этом уравнении учтено, что вектор нормали к изотермической поверхности n параллелен радиус-вектору r. Поэтому производная 
может быть записана как 
.
Определим зависимость плотности теплового потока j от r. Для этого сначала вычислим тепловой поток q через сферу произвольного радиуса r > R.
. (2.28)
В частности, тепловой поток q 1 через внутреннюю сферу радиусом R 1 и тепловой поток q 2 через наружную сферу радиусом R 2 равны
|
|
(2.29)
Все эти три потока создаются одним и тем же источником мощностью P. Поэтому все они равны P и поэтому равны между собой.
. (2.30)
С учётом (2.28) и (2.29) это равенство можно записать в виде:
. (2.31)
Учитывая, что
,
получаем искомую зависимость плотности теплового потока j от радиуса r:
, (2.32)
где C 1 - это константа, определяемая формулой
. (2.33)
Физический смысл полученного результата достаточно ясен: это известный закон обратных квадратов, характерный для задач со сферической симметрией.
Теперь, так как функция j (r) известна, можно рассматривать уравнение (2.27) как дифференциальное уравнение относительно функции T (r). Решение этого уравнение и даст искомое распределение температур. Подставив в (2.27) выражение (2.32) и заданную функцию 
, получим следующее дифференциальное уравнение:
. (2.34)
Данное уравнение решается методом разделения переменных:
.
Интегрирование этого выражения даёт:
Итак, функция T (r) имеет вид:
. (2.35)
Константы C 1 и C 2 можно определить из граничных условий T (R 1) = T 1,
T (R 2) = T 2. Подстановка этих условий в (2.35) даёт линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными C 1 и C 2:
. (2.36)
Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение относительно C 1:
,
откуда
. (2.37)
С учётом этого выражение (2.35) можно записать в виде:
. (2.38)
Теперь первое граничное условие T (R 1) = T 1 даёт:
, (2.39)
откуда следует выражение для константы C 2:
. (2.40)
Подстановка (2.40) в (2.39) даёт окончательное выражение для искомой функции T (r):
. (2.41)
Зная функцию T (r), можно из закона Фурье
определить и окончательное выражение для плотности теплового потока j как функции от радиуса r:
|
|
. (2.42)
Интересно отметить, что распределение температур не зависит от коэффициента b, но зато плотность потока пропорциональна b.
3 Заключение
В результате проделанной работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T (r). Разработана программа TSO, рассчитывающая функцию T (r) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи. Листинг программы приведен в Приложении А.