Тема 2.2. Прямые. Кривые второго порядка.

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.

Тема 2.1. Векторы

Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.

	Вектор обычно обозначается символом , где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой
Рис 1.Сложение векторов	Определение Суммой векторов и называется такой третий вектор , что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы и служат сторонами параллелограмма, а вектор – его диагональю (рис.1). Сложение векторов в соответствии с рисунком называется сложением по правилу параллелограмма Разностью векторов и называется сумма .
Рис2.Правило треугольника	Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 2. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.
Рис.3Умножение вектора на число	Определение Произведением вектора на вещественное число называется вектор , определяемый условием 1) и, если , то еще двумя условиями: 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) векторы и направлены одинаково, если α >0, и противоположно, если α<0. Произведение вектора на число обозначается (рис 3).

Тема 2.2. Прямые. Кривые второго порядка.

§1. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой.

Каждая прямая на плоскости определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

, где

k – угловой коэффициент прямой (т. е. тангенс угла α, который прямая образует с положительным направлением оси OX, k=tgα), b – ордината точки пересечения прямой с осью OY.

2. Общее уравнение прямой:

где

A, B и C – постоянные коэффициенты, причём A и В одновременно не обращаются в нуль (А²+В²≠0).

Частные случаи этого уравнения:

a. Ax+By=0 (C=0) – прямая проходит через начало координат;

b. Ax+C=0 (B=0) – прямая параллельна оси OY;

c. By+C=0 (A=0) – прямая параллельна оси OX;

d. Ax=0 (B=C=0) – прямая совпадает с осью OY;

e. By=0 (A=C=0) – прямая совпадает с осью OX.

3. Уравнение прямой в отрезках:

где

a и b – длины отрезков (с учётом знаков), отсекаемых прямой на осях OX и OY соответственно.

 

 

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
, где k = ( – угол, образуемый прямой с осью ОХ); – координаты данной точки.

5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(x₁;y₁) и М₂(x₂;y₂), где y₁≠y₂, x₁≠x₂ имеет вид: .

6. Нормальное уравнение прямой: , где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси ОХ

Общее уравнение прямой можно преобразовать в нормальное путём умножения на нормирующий множитель ; знак перед дробью берётся противоположным знаку свободного члена С (в общем уравнении прямой).

Задание № 5 (пример). Уравнение представить в различных видах (с угловым коэффициентом, в отрезках, в виде нормального уравнения).

Решение. Для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом решим заданное уравнение относительно y. Получим – уравнение прямой с угловым коэффициентом; здесь
Для получения уравнения прямой в отрезках перенесём свободный член С=12 вправо и разделим обе части уравнения на ̶ 12. В результате получим: – уравнение в отрезках на осях; здесь а =
Приведём исходное уравнение к нормальному виду. Для этого умножим обе части уравнения на нормирующий множитель Перед корнем взят знак «минус», т. к. свободный член (С=12) имеет знак «плюс». Получим Здесь , т. е. расстояние от О(0;0) до прямой равно 2,4.

§2. Кривые второго порядка.

1. Окружностью называется множество всех точек плоскости, удалённых от заданной точки А на одно и тоже расстояние R. Точка A называется центром, а R – радиусом окружности.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид , где (a;b) – координаты её центра. Если a=0, b=0, то центр окружности совпадает с началом координат и уравнение окружности имеет вид

 

2.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса: где a – большая полуось,b – малая полуось эллипса. Координаты фокусов: F₁(̶ c;0); F₂(с;0), где c – половина расстояния между фокусами. Числа a,b и c связанысоотношением Точки A, B, C, D называют вершинами эллипса, точка О – центром эллипса, расстояния r₁ и r₂ от произвольной точки М эллипса до его фокусов называют фокальными радиусами этой точки.
Эксцентриситетом ε эллипса называется отношение фокусного расстояния 2с (расстояния между фокусами) к большой оси 2а:

Фокальные радиусы определяются формулами:
.
Директрисами эллипса называются прямые l₁ и l₂ параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии, равном ; уравнения директрис:
Замечания.

1) Если a=b, то каноническое уравнение эллипса определяет окружность ;

2) если фокусы эллипса лежат на оси Oy, то эллипс имеет вид, изображенный на рисунке:

В этом случае: , уравнения директрис ;

3) уравнения эллипса с осями, параллельными координатным, имеет вид: ; где (x₀; y₀) – координаты центра эллипса.

3.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы: , где a – действительная, b – мнимая полуось гиперболы.

Координаты фокусов: F₁(̶ c;0), F₂(c;0), c – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением Точки A и B называются вершинами гиперболы, точка О – центром гиперболы, расстояния r₁ и r₂ от произвольной точки М гиперболы до её фокусов называются фокальными радиусами этой точки.
Число называется эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы определяются формулами: для точек правой ветви гиперболы: ;
для точек левой ветви: .
Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями: .
Две прямые l₁ и l₂, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от неё на расстоянии, равном , называются директрисами гиперболы. Их уравнения .

Замечания.

1) Если а=b, то гипербола называется равносторонней (равнобочной). Её уравнение имеет вид
.

2)

Если фокусы гиперболы лежат на оси Oy, то уравнение гиперболы имеет вид . Эксцентриситет этой гиперболы равен асимптоты определяются уравнениями , а уравнения директрис .

3)

Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид , где (x₀;y₀) – координаты центра гиперболы.

4. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки. Называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы имеет вид , где число p˃0, равное расстоянию от фокуса F до директрисы l, называется параметром параболы. Координаты фокуса F . Точка О(0; 0) называется вершиной параболы, длина r отрезка FM – фокальный радиус точки М, ось OX – ось симметрии параболы.

Уравнение директрисы параболы имеет вид: ;

Фокальный радиус вычисляется по формуле:

Замечания.

1) Парабола, симметричная относительно оси OY и проходящая через начало координат, имеет уравнение:

Фокусом параболы является точка F

Уравнение директрисы этой параболы .

Фокальный радиус точки М параболы

2) Различные параболы и их уравнения.

 

Задание № 6 (пример) Дано уравнение эллипса Найти:

1) длины его полуосей;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситет эллипса;

4) уравнения директрис и расстояния между ними;

5) точки эллипса, расстояния от которых до левого фокуса F₁ равно 12.

Решение. Запишем уравнение эллипса в виде канонического уравнения, разделив его обе части на 1176. Получим: . Сравнивая с общим видом уравнения эллипса(), видно, что a² =49, b²= 24, т. е. a =7, b = . Используя соотношение , находим c² =49 ̶ 24=25, c =5. Следовательно, F₁(̶ 5;0) и F₂(5;0).

По формуле находим .

Уравнения директрис имеют вид , т. е. ; расстояния между ними =19,6.

По формуле находим абсциссу точек, расстояния от которых до точки F₁ равно 12: 12=7+ , т. е. x =7.

Подставляя значение x в уравнение эллипса. Найдём ординаты этих точек: Условию задачи удовлетворяет точка А(7;0).