Практические занятия по теме
«Аксиоматическое построение системы натуральных чисел».
I. Опрос по теоретическому материалу:
1. Назовите аксиомы Пеано, положенные в основу построения системы натуральных чисел.
2. Дайте определение сложению натуральных чисел.
3. Какая операция называется алгебраической?
4. Какими свойствами обладает сложение натуральных чисел. Запишите их на математическом языке.
5. Дайте определение умножению натуральных чисел с аксиоматической позиции.
6. Перечислите свойства умножения натуральных чисел.
7. Дайте определение вычитанию натуральных чисел.
8. Как называются компоненты действия вычитания.
9. Дайте определение делению натуральных чисел.
10. Почему действия вычитания и деления не являются алгебраическими операциями на множестве натуральных чисел.
II. Решение задач на аксиоматический метод.
1. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:
а) 48: (2∙4) = 48:2:4; б) 56:(2∙7) = 56:7:2; в) 850: 170 = 850:10:17
Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.
2. Какие свойства деления являются теоретической основой для выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:
1) Можно ли, не выполняя деление, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:
а) (40 + 8): 2; б) (30 + 16): 3; в) 48: 3;
г) (21 +027): 3; д) (20 + 28): 2; е) 48: 2
2) верны ли равенства:
а) 48: 6: 2 = 48: (6: 2); б) 96: 4: 2 = 96: (4 – 2);
в) (40 – 28): 4 = 10 – 7?
3. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида:
а) (а + в):с; б) а: в: с; в) (а ∙ в): с
Предложенные способы проиллюстрируйте на конкретных примерах.
4. Найдите значение выражения рациональным способом; свои действия обоснуйте:
а) (7∙63):7; б) (3∙4∙5):15; в) (15∙18):5∙6; г) (12∙21):14
5. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:
а) 954:18 = (900+54):18 = 900:18+54:18 = 50+3 = 53;
б) 882:18 = (900-18):18 = 900:18 – 18:18 = 50-1 = 49;
в) 480:32 = 480:(8∙4) = 480:8:4 = 60:4 = 15;
г) (560∙32):16 = 560∙(32:16) = 560∙2 = 1120
6. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным способом частное; выбранный способ обоснуйте:
а) 495:15; б) 425:85; в) 455:7; г) 225:9; д) 275:55; е) 455:65
7. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?
8. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения: а) 5∙(10+4); б) 125∙15∙6; в) (8∙379)∙125?
9. Известно, что 37∙3 = 111. Используя это равенство, вычислите: а) 37∙18;
б) 185∙12.
Все выполненные преобразования обоснуйте.
10. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте: а) 8962∙8 + 8962∙2; б) 63402∙3 + 63402∙97; в) 849 + 849∙9
11. Какие свойства умножения будут использовать учащиеся начальных классов, выполняя следующие задания:
1. можно ли, не вычисляя, определить, значения, каких выражений будут одинаковыми: а) 3∙7 + 3∙5; б) 7∙(5 + 3); в) (7 + 5)∙3
2. верны ли равенства: а) 18∙5∙2 = 18∙(5∙2); б) (3∙10)∙17 = 3∙10∙17;
в) 5∙6 + 5∙7 = (6 + 7)∙5; г) 8∙(7 + 9) = 8∙7 + 9∙8
3. можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:
а) 70∙32 + 9∙32 … 79∙30 + 79∙2;
б) 87∙70 + 87∙8 … 80∙78 + 7∙78?
III. Доказать методом математической индукции
1 .Доказать, что n3 + 5n кратно 6
Решение.
1. Проверим это утверждение при n = 1
13 + 5∙1 = 6; 
утверждение истинно
2. Докажем, что из истинности этого утверждения при n = k, следует истинность его при n = k + 1, т.е. 
Доказательство
первое слагаемое делится на 6 по допущению;
второе слагаемое делится и на 3 и на 2, т.к. произведение двух последовательных натуральных числа делится на 2;
третье слагаемое делится на 6, следовательно, сумма трех слагаемых делится на 6.
Тогда по четвертой аксиоме Пеано следует, что (А(1) и А(k) =>А(k+1)) => А(k) для любого натурального числа.
3. Доказать, что 7n+3n-1 кратно 9.
1. Проверим истинность этого утверждения при n = 1
71 + 3∙1-1 = 9; 
утверждение верно
2. Допустим истинность этого утверждения при n = k 
и докажем истинность этого утверждения при n = k + 1, т.е. 
Доказательство.
7k+1 + 3(k+1) –1 = 7∙7k +3k+3–1 = 7∙7k + 7∙3k -7∙1 - 6∙3k +6+3 = 7(7k + 3k –1)–18k+9 = 7(7k +3k–1) –9(2k +1)
Первое слагаемое делится на 9 по допущению, второе слагаемое делится на 9, т.к. первый множитель в нем делится на 9, тогда вся сумма делится на 9.
Вывод: 
для любого натурального числа.
Самостоятельно доказать:
1. 15n + 6 кратно 7
2. 9n + 3 кратно 4