Векторный метод описания движения тела

(рис.2)

В этом методе положение тела на траектории его движения задается радиусом-вектором r, проведенным из произвольной точки О, называемой полюсом, в заданную точку траектории. Точка О обязательно должна быть связана с выбранным материальным телом, называемым телом отсчета. Вектор , проведенный из точки в точку положения тела на траектории (рис.2) называется перемещением тела. Точки нумеруются в порядке возрастания времени движения тела. Длина участка траектории между этими точками называется длиной пути тела или путем, пройденным телом, между этими точками.

Скорость и ускорение a тела определяются как

, .

Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения тела, в направлении его импульса , а вектор ускорения a, согласно второму закону Ньютона, – в направлении результирующей силы , действующей на тело. Направления векторов F и p, а значит и векторов a и v при движении тела по криволинейной траектории не совпадают.

Изменение скорости тела и его перемещение за время t его движения определяются соотношениями

, ,

где и – начальная скорость и начальное положение тела при .

При движении тела с постоянным ускорением уравнения движения тела будут иметь вид

Пример 1. См. пример 4.5.

Координатный метод описания движения тела. В этом методе для описания движения тела обычно выбирается декартова (прямоугольная) система координат XYZ с началом в произвольной точке О, связанной с телом отсчета. Такая система координат называется лабораторной системой отсчета. Возможно также использование других систем координат: полярной, цилиндрической, сферической и т.д. Направления координатных осей X,Y,Z выбираются произвольно, но рационально, чтобы решение задачи оказалось максимально простым.

В декартовой системе координат положение тела на его траектории относительно начала О выбранной системы отсчета задается уравнением , где (x, y, z) – координаты положения материальной точки или центра масс (ЦМ) тела, а i, j, k –орты (единичные векторы) координатных осей X, Y, Z (рис.2). Скорость тела по определению равна

Вращательное движение

Вращательное движение тела описывается углом поворота тела , его угловой скоростью ω и угловым ускорением ε, которые являются аналогами величин s, v, , используемыми для описания поступательного движения тела. Согласно определению

.

Параметры являются векторами. Направление векторов совпадает с направлением оси вращения тела (рис.7) и связано с ним правилом правого винта: если правый буравчик вращать по направлению вращения тела, то направление его движения укажет направление векторов .Вектор ε в случае фиксированной неподвижной оси вращения также направлен вдоль оси вращения. Он параллелен вектору ω при ускоренном вращении тела и антипараллелен ему при его замедленном вращении.

Рис.7

Элементарный поворот d ϕ тела всегда вектор, однако угол поворота тела является вектором только при вращении тела вокруг фиксированной оси его вращения.

Изменение угловой скорости тела Δ ω и угол его поворота за время вращения тела t равны

,

где – начальная угловая скорость и начальное угловое положение тела при t=0.

При вращении тела с постоянным угловым ускорением уравнения вращательного движения имеют вид

.

где + ε и – ε соответствуют ускоренному и замедленному вращению тела.

Наряду с угловыми величинами (рад) и ω (рад/с) для описания вращательного движения используются величины N (об) – число оборотов тела и n (об/с) – частота вращения тела, определяемые соотношениями и . В терминах этих величин уравнения вращательного движения при имеют вид

Однако, если ε =0 и то .Только в этом случае частота вращения тела может рассчитываться по формуле и можно ввести понятие периода T вращения тела (n=1/T). Это можно отнести к описанию вращения Земли вокруг своей оси.

3. Связь между линейными и угловыми величинами

Угловые величины для всех точек вращающегося тела относительно любых параллельных осей вращения одинаковы, а линейные величины различны. Для установления связи между ними используют определение радианной меры угла , опирающегося на дугу длиной s окружности радиуса R: и определения линейных величин. В результате получим следующие уравнения связи

,

где в случае Угол между векторами a и v в некоторый момент времени t определяется соотношением

рис.8

В теории представляет интерес векторная связь между векторами v и ω: , где r - вектор, проведенный из произвольной точки О на оси вращенияZ в произвольную точку вращающегося тела (рис.8). Направления векторов v и ω cвязаны между собой правилом правого винта. Переходя к скалярной форме, получим , где – угол между векторами ω и r, расстояние от рассматриваемой точки тела до его оси вращения Z или радиус окружности, по которой эта точка вращается.

Пример 1. Тело, вращающееся по окружности радиуса R с постоянным угловым ускорением, увеличило свою частоту вращения от до оборотов в секунду, совершив при этом оборотов. Найти угловое ускорение вращения тела и время его вращения, угол его поворота, начальную и конечную угловые скорости. Чему равны путь, пройденный телом вдоль окружности, его начальная и конечная скорости, касательное, центростремительное и полное ускорение?

Дано: Найти:

Решение: Построим решение задачи в виде последовательного алгоритма. Число оборотов N тела при дается уравнениями

.

Откуда находим угловое ускорение и время вращения тела

.

Угол поворота и угловые скорости тела: . Линейные величины: .

Ответ: , ,

.

Относительное движение

Рассмотрим произвольную неподвижную систему отсчета XOY с началом в точке О, и движущуюся систему отсчета , положение начала координат которой относительно точки О задается радиус-вектором , а точка движется относительно XOY со скоростью и ускорением .Обозначим через положение, скорость и ускорение некоторой точки (она может принадлежать и твердому телу) в системе координат XOY, а через те же параметры этой точки в системе координат

Рис.9

Учитывая, что (рис.9) и последовательно дифференцируя по времени обе части этого равенства, придем к следующим уравнениям связи

между скоростями и ускорениями рассматриваемойточки в неподвижной и движущейся системах отсчета.

Движение в неподвижной СО называют также абсолютным, движение подвижной СО относительно неподвижной – переносным, а движение тела в движущейся СО – относительным.

Пример 1. Тело, движущееся со скоростью , сталкивается абсолютно упруго с движущейся со скоростью вертикальной массивной стенкой. Найти скорость тела после соударения со стенкой.

Дано: . Найти:

Решение: Будем считать стенку, движущуюся со скоростью , движущейся системой отсчета. Обозначим скорость тела в этой системе отсчета. Тогда скорость те ладо его столкновения

. После столкновения со стенкой тело вследствие абсолютно упругого удара приобретет относительно стенки скорость , и его скорость станет равной . Из этих двух уравнений получим: .

В проекциях на направление движения тела и стенки при их встречном движении получим . В случае же движения стенки и тела в одном направлении . Отсюда следует: если стенка движется от тела со скоростью , то тело после столкновения с ней остановится .Чтобы тело отскочило от удаляющейся стенки, она должна удаляться от него со скоростью .

Ответ: .

Пример 2. Скорость струи пара перед попаданием на лопатки паровой турбины равна . Какой должна быть скорость лопаток, чтобы вся кинетическая энергия струи пара могла перейти в энергию вращения турбины?

Решение: Чтобы вся кинетическая энергия струи пара перешла в энергию вращения турбины, его скорость после отражения от лопаток должна равняться нулю . Согласно примеру 1 получим . Это соотношение выполняется в рабочем режиме турбины.

Ответ: .

Пример 3. Два автомобиля движутся по одной дороге. Скорость первого автомобиля , а второго – . Найти относительную скорость движения автомобилей при их движении в одном направлении и навстречу друг другу.

Дано: . Найти:

Решение: Свяжем с первым автомобилем движущуюся СО. Тогда , а относительная скорость второго автомобиля относительно первого , его абсолютная скорость относительно земли . Откуда относительная скорость автомобилей .

При движении автомобилей в одном направлении в проекциях на направление их движения получим . При встречном движении автомобилей в проекциях на направление движения любого из автомобилей: .

Ответ: при движении автомобилей в одном направлении, при встречном движении автомобилей.

Пример 4. Два тела бросают с поверхности земли вертикально вверх с начальными скоростями и с задержкой по времени, равной τ. Найти относительную скорость движения тел в произвольный момент времени.

Дано: . Найти:

Решение: проекции абсолютных скоростей тел на вертикальное направление их движения равны и . Проекция относительной скорости тел на вертикальное направление . Относительная скорость тел в любой момент времени одинакова.

Ответ: .

Пример 5. Два тела движутся в одной плоскости, их скорости изменяются по закону , . Найти скорость движения их ЦМ, импульс системы и скорости тел относительно их ЦМ. Отличаются ли относительные скорости тел в неподвижной СО и в системе их ЦМ?

Дано: , . Найти:

Решение: Система понятий, используемых в данной задаче, введена в разделах 7 и 12 (Центр масс и второй закон Ньютона для системы тел). Задачу будем решать в векторной форме. Скорость ЦМ системы двух точек