Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.
Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.
Взяв за основу буквенное уравнение ax 2 + bx + c = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.
Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax 2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a
Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:
Перенесем члены и
в правую часть, изменив знак:
Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:
В числителе правой части вынесем за скобки a
Сократим правую часть на a
Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение ax 2 + bx + c = 0.
Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.
Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби
будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b 2 − 4 ac.
Выражение b 2 − 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D
D = b 2 − 4 ac
Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2 x 2 + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2 x 2 + x + 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b 2−4 ac
D = b 2 − 4 ac = 12 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.
Видим, что D (оно же b 2 − 4 ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2 x 2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.
Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b 2 − 4 ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.
Итак, D равно b 2 − 4 ac. Подставим в уравнении вместо выражения b 2 − 4 ac букву D
Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D < 0), то уравнение примет вид:
В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.
Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0), то уравнение примет вид:
В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:
Получили уравнение . Из него полýчится два уравнения:
и
. Выразим x в каждом из уравнений:
Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.
Чаще всего эти формулы обозначаются как x 1 и x 2. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:
Очерёдность применения формул не важнá.
Решим например квадратное уравнение x 2 + 2 x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, a = 1, b = 2, c = −8.
Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.
Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b 2 − 4 ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x 2 + 2 x − 8 = 0
D = b 2 − 4 ac = 22− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:
Значит корнями уравнения x 2 + 2 x − 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:
Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:
И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:
Далее выражаем x
Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x 2 − 6 x + 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.
Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1, b = −6, c = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:
D = b 2 − 4 ac = (−6)2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0
Дискриминант равен нулю (D = 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле
Значит корнем уравнения x 2 − 6 x + 9 = 0 является число 3.
Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и
. Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.
Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3
Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы
и
. Это позволяет сэкономить время и место.
Пример 3. Решить уравнение 5 x 2 − 6 x + 1 = 0
Найдём дискриминант квадратного уравнения:
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:
Значит корнями уравнения 5 x 2 − 6 x + 1 = 0 являются числа 1 и .
Ответ: 1;