Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.
Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.
Например, следующие уравнения являются квадратными:
Решим первое из этих уравнений, а именно x 2 − 4 = 0.
Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.
Итак, в уравнении x 2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:
Получили уравнение x 2 = 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.
У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.
Чтобы решить уравнение x 2 = 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.
Число b называется квадратным корнем из числа a, если b 2 = a и обозначается как 
У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x 2 = 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.
Тогда можно записать, что 
. Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2.
Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед 
следует поставить знак ±
Затем найти арифметическое значение квадратного корня
Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2. То есть корнями уравнения x 2 − 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:
Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:
В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.
Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:
ax 2 + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.
Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.
Пусть дано уравнение 3 x 2 + 2 x = 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.
Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax 2 + bx + c = 0. Для этого в уравнении 3 x 2 + 2 x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:
3 x 2 + 2 x − 16 = 0
Получили уравнение 3 x 2 + 2 x − 16 = 0. В этом уравнении a = 3, b = 2, c = −16.
В квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.
В нашем случае для уравнения 3 x 2 + 2 x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2; свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.
Так, в уравнении 3 x 2 + 2 x − 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.
В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.
Например, если дано уравнение −5 + 4 x 2 + x = 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax 2 + bx + c = 0.
В уравнении −5 + 4 x 2 + x = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4 x 2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:
Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.
Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным.
Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x 2 + 2 x − 3 = 0.
В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.
Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.
Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:
В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:
Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1)2 = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что 
. Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3
Значит корнями уравнения x 2 + 2 x − 3 = 0 являются числа 1 и −3.
Выполним проверку:
Пример 3. Решить уравнение x 2 − 6 x + 9 = 0, выделив полный квадрат.
Выделим полный квадрат из левой части:
Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x
Значит корнем уравнения x 2 − 6 x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:
Пример 4. Решить квадратное уравнение 4 x 2 + 28 x − 72 = 0, выделив полный квадрат:
Выделим полный квадрат из левой части:
Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:
Воспользуемся квадратным корнем:
Получили два простых уравнения: 2 x + 7 = 11 и 2 x + 7 = −11. Решим их:
Пример 5. Решить уравнение 2 x 2 + 3 x − 27 = 0
Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.
Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4 x 2. Его можно было представить в виде квадрата выражения 2 x, то есть (2 x)2 = 22 x 2 = 4 x 2. Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4 x 2. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:
В уравнении 2 x 2 + 3 x − 27 = 0 первый член это 2 x 2. Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.
Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.
Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x 2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:
Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2
Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:
Выделим полный квадрат.
При представлении члена 
в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби 
сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на 
. При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.
Свернём полученный полный квадрат:
Приведём подобные члены:
Перенесём дробь 
в правую часть, изменив знак:
Воспользуемся квадратным корнем. Выражение 
представляет собой квадратный корень из числа 
Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Тогда наше уравнение примет вид:
Полýчим два уравнения:
Решим их:
Значит корнями уравнения 2 x 2 + 3 x − 27 = 0 являются числа 3 и 
.
Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.
Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:
В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2 x 2 + 3 x − 27 = 0 решено верно.
Решая уравнение 2 x 2 + 3 x − 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x 2 равен единице:
Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.
Любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 нужно разделить на a
