Определители и матрицы, решение систем
Задача1.1 Вычислить определитель третьего порядка 
а) по правилу треугольника;
б) с помощью разложения по элементам какой-либо строки или столбца.
Решение.
а) Вычислим данный определитель по правилу треугольника:
.
б) Вычислим данный определитель с помощью разложения по элементам третьего столбца:
Задача 1.2 Для матриц 
найти: а) 
,
б) 
, в) 
, г) 
, д) 
.
Решение:
а)
б)
в) 
г) 
д)
Найдем для матрицы В обратную.
, значит 
существует.
Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы 
.
Тогда 
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Задача 1.3 Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными 
Требуется:
а) найти её решения с помощью формул Крамера;
б) записать систему в матричном виде и решить её средствами матричного исчисления;
в) решить систему методом Гаусса.
Решение: 1) Рассмотрим матрицу системы линейных уравнений 
.
Главный определитель матрицы d = 
= 2 ×3 × 1 + 1 × (–2) × 1 + 1× 3 ×
∙ (–1) – (–1) × 3 × 1 – 1× (–2) × 2 –1× 3 ×1 = 5 (вычислили по правилу треугольника).
Так как d = 5 ¹ 0, то система имеет единственное решение, которое и можно найти по формулам Крамера. Для системы трех уравнений с тремя неизвестными формулы Крамера имеют вид: 
где d 1, d 2 и d 3 – получаются из определителя d заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец из свободных членов. Составим и вычислим эти определители, используя, например, правило треугольника.
,
,
.
По формулам Крамера получаем: 
, 
, 
.
2) Данную систему можно представить в матричном виде: А×Х=В, где 
– матрица системы уравнений, 
– матрица-столбец из неизвестных, 
– матрица-столбец из свободных членов.
Умножим слева обе части уравнения на А –1, где А –1 – обратная для матрицы А матрица. Тогда 
. Значит, решение матричного уравнения А×Х=В будем искать в виде Х=А –1 × В, где А –1 – матрица, обратная матрице А.
Так как определитель матрицы А не равен нулю (d= 5), то обратная матрица существует и равна: 
, где 
– алгебраическое дополнение для элементов исходной матрицы.
Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
.
Получаем 
. Тогда
.
3) Решим систему методом Гаусса, для это расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приведем ступенчатому виду: 
. Для удобства поменяем местами первую и последнюю строки.
 |
~ 
- поменяем местами вторую и третью строки, получим: 
.
Этой матрице соответствует система 
.
Из последнего уравнения находим 
. Подставляя данное значение во второе уравнение, находим 
. Подставляя найденные значения в первое уравнение, находим 
Ответ: х = 3; y = 1; z = 2.
Аналитическая геометрия
Задача 2.1 Коллинеарны ли векторы 
и 
, построенные по векторам 
и 
, если 
.
Решение: Найдём координаты векторов и :
.
Найдём отношения соответствующих координат векторов 
и 
:
.
Так как координаты пропорциональны, то 
.
Ответ: .
Задача 2.2 Найти скалярное произведение векторов 
, если
Решение:
воспользуемся определение скалярного произведения векторов 
и свойствами скалярного произведения:
=
б) Воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного произведения:
.
Найдём векторное произведения векторов 
, выраженных через вектора 
, используя свойства векторного произведения:
Найти площадь параллелограмма построенного на векторах 
, если 
.
,
тогда 
Ответ: а) 30, б) S = 84 кв. ед.
Ответ: S = 84 кв. ед.
Задача 2.3 Дан треугольник 
с вершинами 
. Найти:
а) величину угла 
;
б) координаты точки пересечения медиан;
в) координаты точки пересечения высот;
г) длину высоты, опущенной из вершины ;
д) площадь треугольника 
;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину 
параллельно стороне 
;
ж)систему неравенств, задающих область внутри треугольника.
Решение: Найдем уравнения сторон треугольника и угловые коэффициенты, используя уравнение прямой, заданной двумя точками:
.
Уравнение прямой 
: 
, отсюда 
или 
. Угловой коэффициент прямой 
равен 
.
Уравнение прямой 
: 
, отсюда 
или 
. Угловой коэффициент прямой равен 
.
Уравнение прямой 
: 
, отсюда 
или 
.
Угловой коэффициент прямой равен 
.
а) вычислим внутреннюю величину угла 
треугольника :
, отсюда (по таблице Брадиса или с помощью инженерного калькулятора), 
радиан.
б) Обозначим: 
- точку пересечения медиан, 
и 
- середины отрезков 
и 
соответственно.
Найдем координаты середин сторон, используя формулы 
, и уравнения соответствующих медиан.
Точка 
: 
,
тогда уравнение медианы 
: 
, отсюда 
.
Точка О: 
,
тогда уравнение медианы 
: 
, отсюда 
.
Координаты точки пересечения медиан найдем, решая систему уравнений, задающих медианы:
, т.е 
.
Рисунок Треугольник 
с вершинами 
.
в) Обозначим через 
- точку пересечения высот 
и 
.
Уравнение высоты будем искать в виде: 
.
Так как прямые 
и 
перпендикулярны, то 
. Тогда 
или 
.
Уравнение высоты будем искать в виде 
.
Так как прямые и 
перпендикулярны, то 
.
Тогда 
или 
.
Координаты точки пересечения высот найдем, решая систему уравнений, задающих высоты:
, т.е 
.
г) длину высоты найдем по формуле расстояния от точки до прямой: 
.
У нас это точка 
и прямая 
: 
(ед.).
д) площадь треугольника найдем по формуле: 
.
Получаем 
(кв.ед.).
е) так как искомая прямая параллельна стороне 
, то их угловые коэффициенты равны. Используя уравнение 
, получаем: 
или 
.
ж) Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Уравнение прямой 
: 
; уравнение прямой 
: 
; уравнение прямой 
: 
.
Для определения нужной полуплоскости берем любую точку, лежащую внутри треугольника, например точку (1,1), и подставляем ее координаты в уравнения прямых.
Получаем: 
, 
, 
.
Следовательно, система неравенств имеет вид: 
.
Ответ: а) 
радиан; б) 
; в) 
; г) 
(ед.);
д) 
(кв.ед.); е) 
; ж) .
Задача 2.4 Составить канонические уравнения:
а) эллипса, большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке 
;
б) гиперболы с мнимой полуосью равной 2, и фокусом 
;
в) параболы, имеющей директрису 
.
Решение:
а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид 
.
По условию задачи 
, 
. Для эллипса справедливо равенство 
.
Для нашей задачи получаем: 
.
Подставляя в каноническое уравнение эллипса, поучаем: 
.
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид 
.
По условию задачи 
, 
. Для гиперболы справедливо равенство 
.
Для нашей задачи получаем: 
.
Подставляя в каноническое уравнение гиперболы, поучаем: 
.
в) Каноническое уравнение параболы в нашем случае имеет вид 
, а уравнение ее директрисы 
.
По условию задачи уравнение директрисы . Поэтому 
.
Подставляя в каноническое уравнение параболы, поучаем 
.
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
.
Задача 2.5 По координатам вершин А (3; – 2; 2), В (1; – 3; 1), С (2; 0; 4),
D (6; – 4; 6) пирамиды АВСD найти:
а) длины ребер АВ и АС;
б) угол между векторами 
;
в) объем пирамиды АВСD;
г) высоту, опущенную из вершины D на грань АВС;
д) уравнение прямой АВ;
е) уравнение плоскости ВСD;
ж) синус угла между прямой АВ и плоскостью ВСD;
з) косинус угла между плоскостью xOy и плоскостью ВСD.
Решение: Найдем координаты векторов 
, 
, 
:
а) Длины ребер АВ и АС найдем как длины векторов 
и 
:
, 
,
т.е. 
(ед.), 
(ед.).
б) Угол между векторами 
и 
найдём, используя скалярное произведение векторов: 
тогда
в) Объём пирамиды равен 
объёма параллелепипеда, построенного на векторах 
и 
, как на сторонах. Объём параллелепипеда найдём, используя смешанное произведение векторов:
.
Объём параллелепипеда равен 
(ед3). Тогда объём пирамиды равен 
(ед3).
г) Из школьного курса известна формула объёма пирамиды: 
. Отсюда 
.
Площадь основания найдём, используя векторные произведения векторов:
, то есть вектор векторного произведения имеет координаты (0, 5, -5).
(ед.2).
(ед.).
д) Для нахождения уравнения прямой АВ используем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: 
. Имеем: 
,
– каноническое уравнение искомой прямой.
– общее уравнение искомой прямой.
е) Для нахождения уравнения плоскости ВСD используем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: 
.
Имеем: 
т.е. 
– искомое уравнение, или 
.
ж) синус угла между прямой АВ и плоскостью ВСD (это угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости) находится по формуле:
.
Получаем:
.
з) косинус угла между плоскостью xOy и плоскостью ВСD найдем по формуле:
.
Получаем
.
Ответ: а) 
; б) 
; в) 5; г) 
; д) 
;
е) ; ж) 
; з) 
.
Ведение в математический анализ
Задача 3.1 Вычислить пределы функции: а) – в) 
, при 
,;
г) 
; д) 
.
Решение. а) 
.
б) 
.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
Получаем: 
в) 
.
г) 
д) 
. Воспользовались тем, что при 
.
Ответ: а) 
, б) -1/2, в) 0, г) 0, д) 
, е) 
.
Задача 3.2 Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва. Изобразить график функции в окрестностях точек разрыва.
а) 
б) 
.
Решение:
а) Знаменатель обращается в ноль при х = 0 и х = 2. найдем односторонние пределы в этих точках:
,
.
Так как односторонние пределы конечные, но не равные между собой, то в точке х = 0 функция имеет разрыв первого рода неустранимый.
, 
.
Так как получили бесконечные пределы, то в точке х = 2.разрыв второго рода.
Рассмотрим поведение функции на бесконечности:
, 
.
б) На каждом из промежутков соответствующая функция является непрерывной. Вычислим односторонние пределы на границах промежутков:
В точке х = -1 функция непрерывна, так как односторонние пределы в этой точке равны между собой и равны значению функции в точке. В точке х = 1 - разрыв 1 – го рода, неустранимый, так как односторонние пределы конечные, но не равные между собой.
у
-4 -1 0 1 х