МАТЕРИАЛОВ (метод цилиндрического слоя)"
2.1 Теоретические основы теплопроводности тел
Теплота является наиболее универсальной формой передачи энергии, возникающей в результате молекулярно-кинетического (теплового) движения микрочастиц - молекул, атомов, электронов. Универсальность тепловой энергии состоит в том, что любая форма энергии (механическая, химическая, электрическая, ядерная и т.п.) трансформируется, в конечном счете, либо частично, либо полностью в тепловое движение молекул (теплоту). Различные тела могут обмениваться внутренней энергией в форме теплоты, что количественно выражается первым законом термодинамики.
Теплообмен − это самопроизвольный процесс переноса теплоты в пространстве с неоднородным температурным полем.
Для любого тела процесс переноса тепла зависит от распределения температуры в теле. Совокупность значений температур во всех точках тела в данный момент времени определяется уравнением температурного поля:
; (1)
где x; y; z – координаты произвольной точки тела;
τ - текущее время.
В случае стационарного режима (
) и одномерного температурного поля (
) уравнение (2.1.) принимает вид:
.
Максимальная интенсивность возрастания температуры характеризуется градиентом. Градиент температуры - это вектор, нормальный к изотермической поверхности и направленный в сторону возрастания температуры. Численно градиент температуры равен производной от температуры по нормали к поверхности:
(2)
Теплопроводность - один из способов передачи теплоты от более нагретых элементов тела к менее нагретым. Теплопроводность (твердых, пористых тел, капельных жидкостей, паров и газов) является одним из частных случаев теплопередачи.
Передача тепла в процессе теплопроводности осуществляется на микроуровне. В газах - путем диффузии молекул и атомов; в жидкостях и твердых диэлектриках – за счет упругих волн; в металлах – в основном путем диффузии свободных электронов, роль упругих колебаний кристаллической решетки имеет второстепенное значение. Движущая сила процесса - наличие разности температур в объеме тела.
Распространение тепла теплопроводностью выражается эмпирическим законом Био - Фурье [1,2,3,4 и др.], согласно которому количество тепла, возникающего в теле вследствие теплопроводности при некоторой разности температур в отдельных частях тела, прямо пропорционально градиенту температуры, времени проведения процесса и площади сечения, перпендикулярного направлению теплового потока:
dQ= -l· dF· gradt·dτ, (3)
где dQ – количество тепла, Дж;
l - коэффициент пропорциональности, коэффициент теплопроводности,
;
grad t – градиент температуры, К/м;
dτ – время, с;
dF – поверхность теплообмена, перпендикулярная тепловому потоку, м2.
Если процесс теплопроводности стационарный, коэффициент теплопроводности не меняется вдоль поверхности теплообмена и с течением времени, уравнение (3) принимает вид:
Q= -l· F· gradt, или (4)
q= -l grad t, (5)
где Q – тепловой поток, Вт;
q – плотность теплового потока, Вт / м2.
Плотность теплового потока - количество теплоты, передаваемой через
единицу поверхности в единицу времени:
(5а)
Знак минус в уравнениях (3, 4, 5) показывает, что тепловой поток изменяется в сторону уменьшения температуры и противоположен по направлению градиенту температуры.
Коэффициент теплопроводности является одной из физических характеристик и указывает на способность данного тела проводить тепло. Количественно коэффициент теплопроводности равен количеству тепла, проходящего в единицу времени t через единицу изотермической поверхности S в стационарном температурном поле, при единичном градиенте температур, т.е.
(6)
Коэффициент теплопроводности - физическая характеристика, зависящая от химического состава и физического строения вещества, его температуры, влажности и ряда других факторов. Коэффициент теплопроводности имеет максимальные значения для чистых металлов и минимальные для газов.
Теплоизоляционные материалы. К числу теплоизоляционных материалов могут быть отнесены все материалы, обладающие низким коэффициентом теплопроводности (менее 5 Вт/(м•град) при t = 0 °С).
Теплоизоляционные материалы могут быть неорганического происхождения (асбест, шлаки, глины, пески, минералы и т.д.), органического (шерсть, хлопок, дерево, кожа, резина, текстолит и т.д.) и смешанными, т.е. состоящими одновременно из органических и неорганических веществ. Материалы органического происхождения используют в области температур, не превышающих +150 °С. Для более высоких температур применяются материалы неорганического происхождения.
Теплопроводность твердых теплоизоляционных материалов, как правило, определяется их пористостью (т.е. общим объемом газовых включений, отнесенным к единице объема изоляционного материала), размером пор и влажностью. С ростом влажности теплопроводность увеличивается. Теплопроводность пористых тел сильно возрастает с температурой; при температурах более 1300°С тепловые изоляторы становятся проводниками тепла. Сплошные диэлектрические материалы, например стекло, имеют более высокую теплопроводность по сравнению с пористыми материалами.
Установлено также, что чем выше плотность материала, тем больше его теплопроводность.
Для каждого материала коэффициент теплопроводности зависит от структуры, плотности, влажности, температуры и т.д. Коэффициент теплопроводности l определяется в основном экспериментальным путем. Численные значения внесены в теплотехнические таблицы [5,6 и др.]. В ПРИЛОЖЕНИИ А дана выборка коэффициентов теплопроводности разных тел [4,5 и др.].
В настоящей лабораторной работе коэффициент теплопроводности определяется методом цилиндрического слоя в стационарном режиме. Для этого исследуемый материал в форме цилиндрического слоя помещается между металлическими трубами. Внутренняя цилиндрическая поверхность равномерно обогревается электрическим обогревателем. В установившемся режиме вся теплота Q проходит через цилиндрический слой материала.
Рассмотрим цилиндрическую стенку (трубу) длиной L c внутренним r1 и внешним r2 радиусами (рис. 1а). Заданы температуры tст1 =t1 внутренней и
tст2 =t2 наружной поверхностей стенки (t1 > t2). Теплопроводность материала имеет постоянное значение и равна l. Температурное поле считаем одномерным, т.е. температура меняется только в радиальном направлении. Внутри рассматриваемой стенки выделим кольцевой слой радиусом r и толщиной dr (рис.1б).
а б
Рисунок 1 Распределение температуры по толщине цилиндрической
стенки (а); схема цилиндрического слоя (б)
Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящей через этот слой за единицу времени, равно:
(7)
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
и 
(а)
Используя граничные условия, находим:
t = t1 при r = r1;
t = t2 при r = r2
Тогда:
(в)
(с)
Вычитая из равенства (в) равенство (с), получим:
или 
, (8)
Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки для стационарного режима:
(9)
Из уравнений (8) и (9) при заданных граничных условиях находим текущую температуру в различных точках цилиндрического тела:
(10)
Таким образом, текущая температура в цилиндрическом теле изменяется по закону логарифмической кривой (рис.1а). Данное явление объясняется тем, что плотность теплового потока q изменяется при изменении текущего радиуса цилиндра r.
Вид функции текущей температуры показывает, что в цилиндрической стенке градиент температур является переменной величиной. Так как градиент графически равен tg a = dt/dr, то расчетная зависимость градиента температур определяется дифференцированием уравнения (7) по t и r, т.е.
(11)
Для цилиндрических тел наиболее удобно расчет плотности теплового потока вести на 1 п/м. Такой удельный тепловой поток называется линейным и обозначается ql:
(12)
Тепловой поток через цилиндр длиной L метров определяется по формуле:
(13)
Если известны Q, L, t1, t2, d1, d2, то из уравнения (2.9) можно определить значение коэффициента теплопроводности l.
В уравнении (13) отношение 
называется линейной теплопроводностью, а величина 
- линейным термическим сопротивлением цилиндрической стенки.
Следовательно, по величине l можно только судить о том, хорошо или плохо материал проводит тепло. Изменение температуры и градиента температур в теле, величина проводимого через тело тепла и т.п. определяются термическим сопротивлением, которое зависит не только от l, но и размеров тела. Одни и те же материалы, в зависимости от термического сопротивления, могут быть теплопроводными и нетеплопроводными. Поэтому изучение теории теплопроводности позволяет решать грамотно многие прикладные задачи теплопередачи.
2.2. Цель работы
1. Закрепление теоретических знаний по теории теплопроводности тел.
2. Практическое освоение метода цилиндрического слоя для определения коэффициента теплопроводности материала.
3. Проведение эксперимента, построение графика изменения температуры и графика изменения градиента температур по толщине цилиндрической стенки.
4. Сопоставление полученных экспериментальных результатов со справочными данными.
2.3 Описание установки
Исследуемый материал 1 (рис. 2) нанесен в виде цилиндрического слоя (d1 = 0,02, м; d2 = 0,05, м) на наружную поверхность металлической трубы 2. Длина цилиндра тепловой изоляции составляет 1 м, что значительно больше наружного диаметра.
Источником теплового потока служит электронагреватель 3, который включен в электрическую цепь через автотрансформатор 4. Для определения мощности теплового потока служат вольтметр 5 и амперметр 6. Для измерения температур на внутренней и наружной поверхностях тепловой изоляции применяются хромель-копелевые термопары 7 и 8 в комплекте с вторичными приборами 9 и 10.
Рисунок 2 Схема установки
1-исследуемый материал; 2–металлическая труба;
3–электронагреватель; 4 –автотрансформатор;
5–вольтметр;6–амперметр;7,8 –хромель-копелевые термопары;
9,10 –вторичные приборы.
2.4 Методика проведения работы и обработки опытных данных
Выбрать в меню «Исследуемый материал» по заданию преподавателя исследуемый материал, включить установку (панель «нагрев трубы»).
Установить заданную мощность нагревательного элемента 3 с помощью регулятора на панели «нагрев трубы».
По достижению стационарного режима (сопровождается появлением надписи «стационарный режим») зафиксировать показания амперметра, вольтметра, термопар, термометра и барометра (щелчком левой кнопки мыши на соответствующие показания приборов). Записать данные в протокол эксперимента (табл. 1).
Стационарность режима оценивается по неизменности температур t1 и t2 во времени.
Меняя автотрансформатором степень нагрева, повторить опыт 4-5 раз.
Таблица 2 – Данные эксперимента.
Исследуемый материал................................
| № п/п | Измеряемая величина | Обозна- чение | Единицы измерен. | Номера опытов | ||||
| Сила тока | I | а | ||||||
| Напряжение | U | в | ||||||
| Температура внутренней поверхности слоя изоляции | t1 | °С | ||||||
| Температура наружной поверхности слоя изоляции | t2 | °С |
Необходимо рассчитать:
· мощность теплового потока:
, Вт (14)
· средняя температура тепловой изоляции:
, °С (15)
· коэффициент теплопроводности исследуемого материала в зависимости от температуры:
, Вт/(м·град) (16)
Результаты расчетов представить в форме сводной таблицы 3.
Таблица 3 – Расчет коэффициента теплопроводности
Исследуемый материал................................
| № п/п | Измеряемая величина | Обозна- чение | Единицы измерен. | Номера опытов | ||||
| Тепловой поток | Q | Вт | ||||||
| Средняя температура исследуемого материала | tcр | °С | ||||||
| Коэффициент теплопроводности исследуемого материала | l | Вт/ (м·град) | ||||||
| Температурный коэффициент | b | 1/град |
По результатам расчетов построить в соответствующем масштабе график зависимости коэффициента теплопроводности от средней температуры тепловой изоляции λ=f(t). Пользуясь графиком, определить коэффициент β, характеризующий влияние температуры на теплопроводность материала. При обработке графического материала характер зависимости представить в виде уравнения прямой линии:
. (17)
Расчетные значения l сравнить с табличными (ПРИЛОЖЕНИЕ А).
По формуле (10) найти значение текущих температур в теле (при r = 10, 15, 20 и 25мм) и построить зависимость t = ¦ (r) для одного опыта.
Определить значение градиента температур по формуле (11) в тех же точках, что и в предыдущем пункте и построить зависимость 
для одного опыта.
Рассчитать термическое сопротивление исследуемого материала Rl и сравнить с термическими сопротивлениями следующих материалов (при той же толщине цилиндрической стенки): меди, шелка, кожи.
2.5 Заключение
В заключении сделать сравнительный анализ уравнения теплопроводности цилиндрической стенки и плоской, т.е. показать имеющиеся отличительные особенности. Сравнить полученные графики изменения температур и градиента температур в цилиндрическом теле с литературными данными. Сравнить термические сопротивления различных материалов, привести примеры изоляционных материалов.
2.6 Контрольные вопросы
1. Что представляет собой процесс теплопроводности?
2. Сформулируйте закон теплопроводности Фурье.
3. Чем объясняется знак «минус» в законе Фурье?
4. Определение коэффициента теплопроводности и градиента температур.
5. При каких допущениях имеется простое решение уравнения Фурье?
6. Как определить текущую температуру в теле?
7. Знать решение дифференциального уравнения для цилиндрической и плоской стенки при стационарном режиме.
8. Как найти по формуле и графически градиент температур?
9. Какая разница между проводимостью тепла и термическим сопротивлением?