Лекция №1
Вопросы:
1. Введение
2. Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость
3. Понятие о случайном событии
Введение
Предметом теории вероятности является изучение вероятностей закономерностей однородных случайных массовых событий. Каждое явление есть следствие действия многих причин (форма, содержание, температура, протяженность во времени), поэтому невозможно учесть влияние всех этих факторов на результат явления. Если событие может происходить многократно при одних и тех же условиях, то говорят, что происходят однородные массовые события и в этом случае они не зависят от своей природы, а подчинены определенным закономерностям, а именно вероятностям. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые события, позволяет не предсказать результат единичного события, но предвидеть, как событие будет протекать.
Среди математических дисциплин, изучаемых в педагогическом вузе, теория вероятностей и математическая статистика занимает особое положение. Во-первых, она является теоретической базой статистических дисциплин. Во-вторых, методы теории вероятностей и математической статистики непосредственно используются при изучении массовых совокупностей наблюдаемых явлений, обработке результатов наблюдений и выявлении закономерностей случайных явлений. Наконец, теория вероятностей и математическая статистика имеет важное методологическое значение в познавательном процессе при выявлении общей закономерности исследуемых процессов, служит логической основой индуктивно-дедуктивного умозаключения.
Своеобразная форма вероятностных утверждений, сопровождаемых обычно словами - «вероятно», «практически достоверно», «в среднем», «сходится по вероятности» и т.п. — первая проблема, с которой сталкиваются студенты при изучении дисциплины. Другая проблема связана с усвоением специфических теоретико-вероятностных понятий и положений, с необходимостью проведения абстрактно-логических рассуждений при изучении данной дисциплины. Одним из путей преодоления возникающих трудностей является решение достаточно большого числа задач.
Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость.
Исторически зарождение и развитие теории вероятностей связано с азартными играми, в которых требовалось обосновать то или иное решение. Решение таких задач Б.Паскалем, П. Ферма. Х. Гюйгенсом послужило появлению теории вероятностей. Дальнейшее ее развитие связано с именами Я. Бернулли, С.Пуассона, А.Муавра, П.Лапласа, К.Гаусса, П.Чебышева, А.Маркова, А.Ляпунова, А.Хинчина, А.Колмогорова и др.
Возникновение теории вероятностей относят к 17-му веку и связывают с комбинаторными задачами азартных игр. По-видимому, это единственный положительный пример, как-то связанный с пороками общества.
Как видно уже из названия этого раздела математики, объектом изучения теории вероятностей является случайность, неопределённость, как правило, связанная с недостатком информации. Например, при бросании игральной кости (кубика) трудно учесть все факторы, влияющие на выпадение определённого числа очков, поэтому предсказать точно, что выпадет определённое число очков, невозможно.
Как и всякая математическая теория, с точки зрения аксиоматического подхода, теория вероятностей занимается изучением соотношений между неопределяемыми объектами (понятиями). В теории вероятностей такими неопределяемыми понятиями являются элементарные события (исходы) и пространство элементарных событий.
Вероятность события – это число, имеющее ту же природу, что и расстояние в геометрии или масса в теоретической механике и всегда связана с каким-либо пространством элементарных событий, природа которого не имеет значения. Понятие вероятности обычно строится на интуитивных соображениях и связано с понятием статистической устойчивости относительной частоты события при большом числе опытов. При подбрасывании монеты относительная частота появления герба будет колебаться около 0,5, следовательно можно говорить, что вероятность появления герба равна 0,5. наличие устойчивости относительной частоты появления события позволяет судить о вероятности, как об объективной характеристике события в данном опыте, имеющей вполне определенное значение, независимо от того, будут проводиться опыты или нет. Целью современной теории вероятностей является выявление общих закономерностей и зависимостей, а также описание физических явлений с помощью абстрактных моделей.
Предметом теории вероятностей являются события, которые обладают свойством статистической устойчивости.
Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах (явлениях). Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать заранее — основное, что отличает случайное явление от детерминированного.
Методы теории вероятностей являются мощным аппаратом для исследований в различных отраслях науки и техники. Кроме того, теория вероятностей служит для обоснования математической статистики, которая применяется при организации производства, для анализа технологических процессов.
Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают (непонятно как проверяемым заранее) свойством «статистической устойчивости: «если А — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля n(A)/n числа экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов n, приближаясь к некоторому числу P(A). Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию А произойти.
В дальнейшем мы будем говорить лишь о случайных экспериментах, обладающих данными свойствами, а свойство статистической устойчивости докажем в утверждении, известном как закон больших чисел Я.Бернулли.