Приложение производной к исследованию функции
I. Промежутки монотонности функции – это промежутки, в которых функция возрастает или убывает.
Возрастание и убывание функции 
характеризуется знаком её первой производной.
Функция возрастает на некотором промежутке, если в этом промежутке производная функции положительная, т.е. 
Функция убывает на некотором промежутке, если в этом промежутке производная функции отрицательная, т.е. 
Правило нахождения промежутков монотонности функции:
1. Найти производную данной функции: 
2. Найти стационарные точки графика функции, т.е. точки, в которых производная функции обращается в нуль: 
3. Решить полученное уравнение: 
4. Составить таблицу и исследовать функцию на монотонность.
| 
| 
| 
| 
| 
|
| * | * | * | ||
| ! | ! | ! |
* - определить знак (+ или -) производной функции: для этого взять любое число из промежутка и его подставить вместо 
в производную (пункт решения 1.)
! – учитывая знак * и используя определения монотонности, определить – на данном промежутке функция будет возрастающей или убывающей
5. Записать ответ.
Пример 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции 
1. 
2.
3. 
4.
|
| 
| 
| 
| ||
|
| + | - | + | ||
|
| 
| 
| 
|
5. Функция возрастает при 
и убывает при 
.
II. Экстремумы функции – это точки максимума или минимума функции.
Если при переходе через стационарную точку производная функции меняет знак с «+» на «-», то она является точкой максимума.
Если при переходе через стационарную точку производная функции меняет знак с «-» на «+», то она является точкой минимума.
Если производная при переходе через стационарную точку не меняет знак, то функция в этой точке не имеет экстремума.
Правило нахождения экстремумов функции:
1. Найти производную данной функции:
2. Найти стационарные точки графика функции, т.е. точки, в которых производная функции обращается в нуль:
3. Решить полученное уравнение:
4. Составить таблицу и исследовать функцию на монотонность.
|
|
|
|
|
|
|
|
| * | * | * | ||
|
| #
| #
|
* - определить знак (+ или -) производной функции: для этого взять любое число из промежутка и его подставить вместо в производную (пункт решения 1.)
# – учитывая знаки * и используя определения экстремумов функции, определить – какими будут точки
5. Вычислить значение функции в точках экстремума, т.е. и . Для этого значения и подставить в данную функцию вместо
6. Записать ответ: (x;y) - точка max (min)
Пример 2. Найдите точки экстремума функции 
1. 
2.
3. 
4.
|
| 
| -1 | 
| 
| |
|
| + | - | + | ||
|
| max
| min
|
5. 
;
6. (-1;2) – т. max; (1;-2) – т. min
III. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке
Правило нахождения наименьшего и наибольшего значений функции:
1. Найти производную данной функции:
2. Найти стационарные точки графика функции, т.е. точки, в которых производная функции обращается в нуль:
3. Найти значения функции на концах данного отрезка и в стационарных точках, которые принадлежат данному промежутку.
4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее. Записать ответ.
Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
1. 
2.
3. 
- наибольшее значение
- наименьшее значение
4. Наименьшее значение функции равно -4 при х=2, а наибольшее равно 0 при х=3.
Задания для самопроверки:
№1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции 
№2. Найдите точки экстремума функции 
№3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 