Матрицы. Основные определения и типы матриц
Определение 1. Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел aij, которые называют элементами матрицы и обозначается
(1)
Матрица, это любая прямоугольная таблица, составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.
Например, матрица А имеет две строки и три столбца, значит ее размер 2х3, а матрица В - три строки и два столбца, значит ее размер обозначим как 3х2.
Важно: первое число при написании размера матрицы всегда количество строк, а второе - количество столбцов. Элементы матрицы - это те числа, которыми заполнена матрица.
Определение 2. Если в выражении (1) m = n, т.е. количество строк матрицы равняется количеству ее столбцов, то говорят о квадратной матрице, а если m 
n, то прямоугольной.
матрица А - квадратная матрица третьего порядка.
В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:
1. Матрица - строка (или строковая матрица или вектор-строка), состоящая из одной строки. Это прямоугольная матрица размером 1 × n.
A=(a11 a12... an).2. Матрица - столбец (столбцевая матрица или вектор-столбец), состоящая только из одного столбца. Это также прямоугольная матрица размером m × 1
3. Матрица - элемент, состоящая из одного элемента. A=(a11)1×1=a11.
4. Нулевая матрица, состоящая из одних нулей, в матричной алгебре играет роль 0, обозначается V.
5. Единичная матрица, состоящая из нулей, кроме главной диагонали, на которой стоят единицы. Обозначается E и играет роль единицы в матричной алгебре
6. Диагональная матрица, квадратная порядка n, состоящая из нулей и на главной диагонали стоят не равные нулю элементы (не обязательно единицы)
Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант, который составляется из элементов матрицы и обозначается
Очевидно, что DE=1; DV= 
.
Определение 3. Если detA 0, то матрица A называется невырожденной или не особенной.
Определение 4. Если detA = 0, то матрица A называется вырожденной или особенной.
Определение 5. Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е.
Определение 6. Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n- го порядка, определитель которой Δk называется минором k– го порядка матрицы A. Mij
Пример. Выписать три минора второго порядка матрицы
Решение.
Определитель матрицы - ЧИСЛО
Определитель 3 порядка (правило Саррюса)
Определителем третьего порядка 
называется число, которое вычисляется по формуле:
Для запоминания этой формулы используют схематические правила
(правило треугольника или Саррюса)
| Правило треугольника | Правило Саррюса |
| 
|
Правило треугольника:
Правило Саррюса:
Допишем к определителю два первых столбца.
Ранг матрицы
Определение 7. Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один aij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что
1. у матрицы A имеется минор r-го порядка, для которого Δr 0;
2. всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается r = Rg(A)= rang A.
Из определения 7 вытекает, что
1. ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так r 
min(m,n).
2. если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. aij=0, то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю r = RgA = 0.
Как же найти это число, называемое ранг матрицы – максимальный порядок ненулевого минора.
1) ранг матрицы - это число.
2) максимум оно может быть равно минимальному числу из количества строк или столбцов матрицы, т.е. если матрица имеет размер 4х5, то максимум ранг будет 4.
3) минимум ранг равен 1, если только вы не имеете дело с нулевой матрицей, там всегда ранг 0.
Для начала найдем минор матрицы некоторого элемента.
Минор Mij некоторого элемента матрицы - это определитель той матрицы, которая получается путем вычеркивания строки и столбца из исходной матрицы, в которых стоит некоторый элемент.Минор- это всего лишь определитель на порядок меньше исходного определителя.
Аij = (-1)i+j Mij – алгебраическое дополнение
способ вычисления ранга матрицы – метод окаймляющих миноров
Так вот нам надо искать миноры, именно они позволяют найти ранг матрицы.
Порядок первого минора определяется следующим образом:
1. посчитайте количество строк и столбцов в данной матрице;
2. выберите минимальное из этих двух чисел (в случае если они разные);
3. отнимите единицу от получившегося числа.
Теперь у вас есть значение, которое показывает, сколько в миноре должно быть строк и столбцов. Миноров этого порядка может быть несколько. Надо ли их искать все? Все будет зависеть от того, чему будут равны эти миноры. Если минор получился, равный нулю, то надо искать другой минор этого порядка, пока не найдете, отличный от нуля.
Возможны два случая:
1. Вы нашли минор, не равный нулю - значит ранг матрицы найден. Ранг - это порядок этого минора. Если в миноре было 2 строки и два столбца, значит ранг матрицы равен 2.
2. Вы перебрали все миноры данного порядка и все они равны нулю - значит уменьшаем порядок на единицу и повторяем процесс, пока не найдем определитель, не равный нулю.
Определение 8. Всякий детерминант минора матрицы A, отличный от нуля, размер которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором.