МАТЕМАТИКА 12 класс
Экзаменационная работа 3
Часа
Кандидаты выполняют работу в данном экзаменационном буклете.
Дополнительные материалы: Калькулятор
Геометрические инструменты
Список формул истатистических таблиц 12MATHR/03
ПЕРЕД ВЫПОЛНЕНИЕМ РАБОТЫПРОЧИТАЙТЕ ИНСТРУКЦИЮ
Напишите фамилию, имя, номер центра и номер кандидатав верхней части страницы.
Пишите ручкой с темно-синей или черной пастой.
Разрешается пользоваться простым твердым карандашом для построения любых диаграмм, графиков.
Запрещается пользоваться степлерами, скрепками, клеем или корректором.
НЕПИШИТЕ НА ШТРИХ-КОДАХ.
Ответьте на все вопросы.
Разрешается пользоваться электронными калькуляторами.
Вы можете потерять баллы, если не покажете свои вычисления или
используете несоответствующие единицы измерения.
Записывайте неточные числовые ответы с точностью до 3 значащих цифр, а углы с точностью до 0,1°,если в вопросе не указана другая степень точности.
По окончании экзамена хорошо скрепите всю работу.
Количество баллов указано в скобках [] в конце каждого вопроса или части вопроса.
Общее количество баллов за этуработу—80.
1 (a) Ниже указаны длины диагоналей (в метрах) самых популярных телевизоров с плоским экраном.
Диагонали плоских экранов: 0.85 0.94 0.91 0.96 1.04 0.89 1.07 0.92 0.76
Найдите среднее значение и среднеквадратическое отклонение длин диагоналей 9 телевизоров с плоским экраном.
| [2] |
(b) В диаграмме «стебель-листья» представлены значения принимаемые переменными А и В.
A B
(3) 3 1 0 15 1 3 3 5 (4)
(2) 4 1 16 2 2 3 4 4 5 7 7 7 8 (10)
(3) 8 3 3 17 0 1 3 3 3 4 6 6 7 9 9 (11)
(12) 9 8 8 6 5 5 4 3 2 1 1 0 18 2 4 7 (3)
(8) 9 9 8 8 6 5 4 2 19 1 5 (2)
(5) 9 8 7 1 0 20 4 (1)
Ключ: 4 |16| 7 означает A = 0.164 и B = 0.167.
(i) Найдите медиану и размах между квартилями для переменной А.
| [2] |
(ii) Медиана переменной В равна 0.171, верхний квартиль равен 0.179, а нижний квартиль равен 0.164. Постройте график «ящик с усами» для А и В в одной диаграмме.
| [3] |
2 Длина (в см.) форели в рыбном хозяйстве подчинена нормальному закону распределения. Длина 96% всей форели менее чем 34.1 cm и длина 70% всей форели более чем 26.7 cm.
(i) Найдите среднее значение и среднеквадратическое отклонение длины форели.
| [5] |
В другом рыбном хозяйстве, длина лосося, X cм, тоже распределена по нормальному закону распределения. Средняя длина лосося равна 32.9 см, а среднеквадратическое отклонение 2.4 cм.
(ii) Найдите вероятность того, что наудачу выбранный лосось будет длиннее 34 см.
| [3] |
(iii) Найдите значение t, если P(31.8 <X <t) = 0.5.
| [4] |
3 В коробке А находится 8 белых шаров и 2 желтых шара. В коробке B находится 5 белых шаров и х желтых шаров. Мяч выбирают случайным образом из коробки А и помещают в коробку B. Затем, мяч выбирают случайным образом из коробки В. Ниже представлена диаграмма в виде дерева показывающая возможные варианты выбора шаров.
(i) Объясните вероятность 
, показанную на диаграмме.
| [1] |
(ii) Закончите диаграмму дерева.
| [4] |
(iii) Если мяч выбранный из коробки А белого цвета и мяч выбранный из коробки В с вероятностью 
также белого цвета. Покажите, что значения x будет рано12.
| [2] |
(iv) Принимая во внимание, что мяч выбранный из коробки B желтый, найдите условную вероятность того, что шар выбраны из коробки А был желтым.
| [3] |
4 Точки A, B, C и D расположены в концах векторов3 i + 2 k, 2 i − 2 j + 5 k, 2 j + 7 k и – 2 i + 10 j + 7 k соответственно.
(i) Используя скалярное произведение, покажите, что векторы BA и BC перпендикулярны.
| [3] |
(ii) Покажите, что векторы BC и AD параллельны и найдите отношение длины вектора BC к длине вектора AD.
| [3] |
5 (i) Изобразите график кривой y = 3 sin x, для –π ≤ x ≤ π.
| [2] |
Прямая y = kx, где k константа, проходит через точку максимума кривой на отрезке −π ≤ x ≤ π.
(ii) Найдите значение k, выраженное через π.
| [2] |
(iii) Укажите координаты другой точки, кроме начала координат, где линия и кривая пересекаются.
| [1] |
6 Обозначим комплексное число 
через u.
(i) Найдите модуль и аргумент u и u 2.
| [4] |
(ii) Изобразите на диаграмме Аргана точки, представляющие комплексные числа u и u 2. Изобразите геометрическую область, удовлетворяющую обоим неравенствам |z| < 2 и |z− u2 | < |z− u |.
| [4] |
На рисунке изображен график кривой y = x 2e− x.
(i) Покажите, что площадь заштрихованной области, ограниченной кривой, осью Ox и прямой x=3 равна 
.
| [4] |
(ii) Найдите координату x, точки M, максимума кривой.
| [3] |
(iii) Найдите координату x, точки P, в которой касательная к кривой в этой точке проходит через начало координат.
| [2] |
8 Объем сферического баллона радиусом r cm есть V cm3, где V = 
p r 3.
( a) Найдите 
.
| [1] |
Объем баллона растет, в зависимости от t секунд в соответствии с формулой:
= 
, t ³ 0.
(b) Используя правило изменения или иной метод, найдите выражение 
.
| [2] |
(c) Дано V = 0 при t = 0. Решите дифференциальное уравнение:
= 
. Выразите V через t.
| [4] |
(d) Пусть t = 5,
(i) Найдите радиус баллона, ответ округлите до трех значащих цифр,
| [3] |
(ii) Покажите, что скорость увеличения радиуса баллона приблизительно равна 2.90 ´ 10–2 cm s–1.
| [2] |
9 Владелец ресторана морепродуктов заказывает х желтохвостой рыбы и у рыбы камбалы. Есть по крайней мере всего 50 рыб. Он не может использовать более 30 желтохвостой рыбы или более 35 рыбы камбалы.
(i) Запишите все неравенства, соответствующие данной информации.
| [2] |
(ii) Изобразите неравенства из (i), заштриховав нежелательный регион.
| [3] |
(iii) Стоимость одной желтохвостой рыбы $4, а стоимость одной рыбы камбалы $3. Используя графическое представление в пункте (ii) выше, определите количество каждой рыбы, чтобы минимизировать его затраты?
| [1] |
10 Найдите решение дифференциального уравнения. Известно, что y = 3 и 
, когда x = 0.
| [5] |
ЧИСТАЯ СТРАНИЦА