Входная информация: отрезок [a;b] с корнем непрерывной функции f(x) внутри и точность определения корня ε.
Исходный отрезок делится пополам точкой = и если f()=0, то x – корень уравнения. Если f()≠0, то из двух получившихся отрезков [a; ] и [ ;b] выбирается тот, на концах которого функция имеет противоположные знаки. (Например, если f(a) ∙ f()<0, то выбирается [a; ]; если нет, то [ ;b]). Продолжаем процедуру деления до тех пор, пока |a-b|< ε. Тогда последнее значение будет искомым корнем с точностью ε. Этот метод всегда сходится к корню, но требуется большое количество приближений n, которое можно определить из соотношения ε ∙ = |b-a| (так при |b-a|=1 и ε=0.001, n=10).
Pascal
Пакет Excel
Пакет MathCAD
Метод последовательных приближений
Исходное уравнение F(x) = x+ + -2.5 преобразуем к виду x = φ(x). Если на рассматриваемом интервале изоляции корня [0.7; 0,8] |φ’(x)|<1, то расчетная формула примет вид: =φ(), и при этом итерационный процесс приближения к корню будет сходящимся.
В нашем случае непосредственный выбор расчетной формулы вызывает затруднения. Поэтому воспользуемся следующим приемом.
Введем в рассмотрение произвольный параметр λ>0. Тогда функцию φ(x) можно представить как φ(x) = x - λ∙F(x). Затем, варьируя параметр λ, добиваемся условия сходимости: |φ’(x)|<1 на [a; b]. φ’(x)=1-λ∙F’(x). Для выполнения сходимости λ= на [a; b].
Для рассматриваемого примера:
max|F’(x)| на (a; b) = max| (1 + + )|= 2 (при x=0.7). λ = .
Расчетная формула метода итерации примет вид:
= - ∙( + + -2.5) = .
Блок-схема
Pascal
Пакет Excel
Пакет MathCAD
Метод Ньютона
Этот метод можно рассматривать как частный случай метода простой итерации с рекуррентной формулой = – и тем же принципом выбора начального приближения .
Последовательность является сходящейся, ибо (x) = и (x)=0. Что означает, что если выбрано из малой окрестности корня, то (x)≤1. При произвольном итерации будут сходиться, если всюду
|f (x) * | < .
Геометрически метод Ньютона соответствуют последовательному проведению касательных к кривой y = f(x) в точках (; f ()) и выборе в качестве нового приближения точки пересечения их с осью абсцисс.
Для рассматриваемого нами примера (F(x) = x+ + -2.5) первая производная равна F‘(x)=1+ + , а вторая производная имеет вид
F’’(x) = - - . Итерационная формула примет вид:
= - .
В качестве начального приближения берется тот конец интервала изоляции, на котором функция и ее вторая производная имеют одинаковые знаки. Найдем значения функции на концах отрезка [0,7; 0,8]:
F(0,7)=0.7+ + -2.5≈ -0,075<0;
F’’(0.7)= - - ≈-0,6282<0.
Таким образом, за начальное приближение примем =0.7.
Процесс итераций идет до тех пор, пока |F( |<ε. В случае неудачного выбора рекуррентной формулы получается расходящийся процесс, и условие сравнения с точностью не достигается. Для исключения подобной ситуации введем счетчик итерации n, увеличивающийся каждый раз на единицу, и поставим искусственное условие продолжения итерации в случае n<=k. В противном случае завершим алгоритм с выводом текстового сообщения о невозможности получения корня за заданное количество k шагов.
Блок-схема
Pascal
Пакет Excel
Пакет MathCAD
4.
Анализ результатов
Как видно из выше представленной таблицы более точные результаты корня x в средах Excel и Pascal, хотя сам процесс уточнения был более прост и быстр в среде MathCAD. В среде MathCAD уже заложены специальные формулы, которые позволяют найти более точное значение уже со второго приближения. В среде Pascal к примеру в методе последовательных приближений потребовалось 10 приближений, а в методе Ньютона число приближений равняется 11. Уточнение корня напрямую зависит от точности его нахождения , чем меньше, тем точнее будет корень.
Заключение
В данной работе рассмотрена только одна из большого количества задач численного решения. Аналогичным образом могут быть решены и другие задачи:
· погрешность результатов численного решения задач;
· решение задач линейной алгебры;
· решение задачи аппроксимации функций;
· решение задачи численного вычисления определенных интегралов;
· приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений;
· решение задач одномерной и многомерной оптимизации и др.
Варианты заданий
№ Задания | Уравнение |
Список рекомендуемой литературы
1. Бахтиярова Л.Н. Microsoft Office 2007 Часть 1. Учебно-методическое пособие. – Н.Новгород: ВГИПУ.2008. – 133c.
2. Груздева М.Л., Червова А.А.Экономические и инженерные расчёты в среде MathCad. Учебное пособие. – Н.Новгород: ВГИПУ. – 2007. – 90с.
3. Ершов В.Н. Численные методы. Учебно-методическое пособие. – Н.Новгород: ВГИПУ. – 2009. – 49с.