РПР №1 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ,
КРУЧЕНИИ И ИЗГИБЕ
Для заданных расчетных схем элементов конструкций (стержень, вал, двухопорная балка) необходимо:
1. построить эпюры внутренних сил;
2. подобрать из условия прочности поперечные сечения:
а) для стержня – квадратное;
б) для вала – круглое;
в) для двухопорной балки – двутавр, 2 швеллера и прямоугольное (размеры 
) сечение. Выбрать из указанных трех сечений самое экономичное.
Расчетные схемы элементов конструкций показаны на рис. 1.
Числовые значения исходных данных:
F1 = 2 кН; F2 = 6 кН; F3 = 7 кН;
M1 = 3 кН·м; M2 = 8 кН·м; M3 = 7 кН·м; q1 = 4 кН/м; L = 1 м,
 |
[σ] = 16 кН/см2, [τ] = 8 кН/см2.
Решение
Расчет стержня
1.1 Построение эпюр внутренних сил.
Стержень, нагруженный продольными силами, работает на растяжение-сжатие. В этом случае в поперечном сечении стержня будет действовать только продольная сила N.
1.1.1 Разделение стерженя на участки.
Границами участков являются края стержня и точки приложения внешних сил. Принимаем, что сила приложена в точке, которая совпадает с острым краем стрелки, изображающей силу. Выполнив разделение находим, что стержень содержит три участка.
1.1.2 Определение реакций опор.
Расчет стерженя, закрепленного посредством заделки, можно выполнять без определения реакций в заделке. Поэтому реакции опор не определяем.
1.1.3 Определение значений внутренних сил.
 |
Значения продольных сил N для всех участков стержня находим методом сечений. Разрезаем стержень в пределах каждого участка на две части и оставляем часть, не содержащую заделку. Уравнение для определения N состаляем используя правило: продольная сила равна алгебраической сумме внешних осевых сил, действующих на оставшуюся часть. Знаки слагаемых в выражении для вычисления N определяем по правилу: если после введения в месте разреза заделки сила вызывыет растяжение оставшейся части, то она является положительной. Результаты расчета представлены на рис. 2.
1.1.4 Построение эпюры N.
 |
По результатам расчета строим эпюру N (рис. 3).
Положительные значения N откладываем вверх от нулевой линии, а отрицательные значения – вниз. Выполняем проверку эпюры. В точках приложения сил скачки на эпюре равны соответствующим силам. Скачек в месте расположения заделки равен горизонтальной реакции в заделке.
1.2 Подбор квадратного сечения.
Для определения длины стороны квадрата (рис. 4) используем условие прочности
Принимая во внимание, что площадь квадрата равна
,
условие прочности будет иметь вид
Тогда длина стороны квадрата определяется по формуле
По эпюре N находим, что максимальное по модулю значение N равно 
.
Выполняя вычисления, определяем a.
.
В качестве ответа принимаем ближайшее большее целое число в миллиметрах а = 6 мм.
Расчет вала.
2.1 Построение эпюр внутренних сил.
Стержень, нагруженный скручивающими моментами, работает на кручение и назывыется валом. В поперечном сечении вала действует только крутящий момент T.
2.1.1 Разделение вала на участки.
Границами участков являются края вала и сечения, в которых приложены внешные моменты. Выполнив разделение находим, что вал содержит три участка.
2.1.2 Определение реакций опор.
Вал, закрепленный посредством заделки, можно расчитывать без определения реакций в заделке. Поэтому реакции опор не определяем.
2.1.3 Определение значений внутренних сил.
Значения крутящего момента T для всех участков вала находим методом сечений. Разрезаем вал в пределах каждого участка на две части и оставляем часть, не содержащую заделку. Уравнение для определения T состаляем используя правило: крутящий момент равен алгебраической сумме скручивающих моментов, действующих на оставшуюся часть. Знаки
 |
слагаемых в соотношении для вычисления T находим по правилу: если при взгляде со стороны отброшенной части внешний момент виден направленным против хода часовой стрелки, то он является положительным. Результаты расчета приведены на рис. 5.
2.1.4 Построение эпюры Т.
 |
По результатам расчета строим эпюру Т (рис. 6). Выполняем проверку эпюры. В сечениях, где приложены моменты, скачки на эпюре равны соответствующим моментам. Скачек в месте расположения заделки равен реактивному моменту в заделке.
2.2 Подбор круглого сечения.
Для определения диаметра круга (рис. 7) используем условие прочности при кручении
Полярный момент сопротивления круглого сечения равен
Тогда необходимый диаметр круга определяется по формуле
По эпюре T находим 
(максимальное по модулю значение).
Диаметр круглого сечения равен
.
Принимаем d = 64 мм (ближайшее большее целое число в миллиметрах). При определении диаметра был выполнен перевод единиц измерения крутящего момента Тmax = 4 кН·м = 400 кН·см.
Расчет двухопорной балки.
3.1 Построение эпюр внутренних сил.
3.1.1 Разделение балки на участки.
Границами участков являются края балки и сечения, в которых приложены внешные силы, моменты и расположены края погонной нагрузки. Выполнив разделение находим, что балка содержит три участка.
3.1.2 Определение реакций опор.
Так как балка не нагружена горизонтальными силами, то горизонтальная реакция в опоре А будет равна нулю. Для определения двух вертикальных реакций необходимо составить два уравнения равновесия. Уравнения равновесия целесообразно составлять в виде суммы моментов от всех сил, действующих на балку, относительно каждой опоры. В этом случае в уравнениях будет присутствовать только одна неизвестная и уравнения можно решать независимо друг от друга. Предварительно обе реакции направляем вверх.
Находим реакции опор
,
Знак плюс у полученного результата означает, что реакция направлена вверх, а знак минус – реакция направлена вниз.
,
.
Производим проверку расчета реакций
,
Проверка выполняется.
3.1.3 Определение значений внутренних сил.
Значения внутренних сил для всех участков балки находим методом сечений. Разрезаем балку в пределах каждого участка на две части и оставляем часть, не содержащую заделку. Уравнения для определения поперечной силы Q и изгибающего момента M состаляем используя правила: поперечная сила равна алгебраической сумме внешних поперечных сил, действующих на оставшуюся часть; изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов от внешних поперечных сил, действующих на оставшуюся часть, относительно места разреза балки. Знаки слагаемых в формулах для вычисления Q и M находим по правилам: если внешняя сила создает момент относительно места разреза, направленный по ходу часовой стрелки, то она является положительной; в том случае, когда внешний момент изгибает балку выпуклостью вниз, он положителен.
Участок 1. z1 Î [0;1м].
;
;
.
Участок 2. z2 Î [0;3м].
;
;
Значения Q на краях данного участка имеют разные знаки. Это значит, что в некотором сечении Q = 0 и на эпюре M будет расположена точка экстремума. Определяем экстремальное значение M.
.
Участок 3. z3 Î [0;1м].
;
 |
3.1.4 По результатам расчета строим эпюры Q и M (рис. 8).
Выполняем проверку эпюр, используя следующие правила.
Эпюра Q
1. В том сечении, где приложена сила, на эпюре должен быть скачек на величину этой силы. При движении по эпюре слева направо направление скачка должно совпадать с направлением силы.
2. Если участок не нагружен погонной нагрузкой, то эпюра является прямой горизонтальной линией. При действии на участке погонной нагрузки эпюра представляет собой прямую наклонную линию.
3. Если q < 0 (нагрузка направлена вниз), то поперечная сила слева направо уменьшается. При q > 0 (нагрузка направлена вверх) поперечная сила слева направо увеличивается.
Эпюра М
1. В том сечении, где приложен момент, на эпюре должен быть скачек на величину этого момента. При движении по эпюре слева направо при действии момента против хода часовой стрелки скачек должен быть направлен вниз, а при действии момента по ходу часовой стрелки – вверх.
2. Если участок не нагружен погонной нагрузкой, то эпюра является прямой линией. При нагружении участка погонной нагрузкой эпюра представляет собой параболу. Парабола должна быть выгнута навстречу к погонной нагрузке.
3. При Q < 0 изгибающий момент слева направо уменьшается. Если Q > 0, то изгибающий момент слева направо увеличивается.
В том сечении, где Q = 0, на эпюре должна быть точка экстремума. При q < 0 (нагрузка направлена вниз) на эпюре расположена точка максимума, а при q > 0 (нагрузка направлена вверх) – точка минимума
3.2 Подбор сечений.
3.2.1 Подбор двутавра
Для определения номера двутавра используем условие прочности при изгибе
По эпюре М находим 
. Выполнив вычисления, получаем
Выбираем двутавр №16 с ближайшим большим к расчетному моментом сопротивления 
Для определения наиболее экономичного сечения необходимо знать площади сопоставляемых сечений. Площадь двутавра №16 равна 
4.2.2 Подбор сечения из двух швеллеров.
Для сечения из двух швеллеров
Тогда
Выбираем швеллер №12 с ближайшим большим к расчетному моментом сопротивления 
Площадь швеллера №12 равна 
Площадь всего сечения 
4.2.3 Подбор прямоугольного сечения.
Осевой момент сопротивления прямоугольника (рис. 9) равен
Тогда из условия прочности при изгибе находим
Принимаем а = 51 мм.
Вычисляем площадь прямоугольника
Балка будет наиболее экономичной (будет иметь наименьшую стоимость, объем, вес) с тем сечением, которое имеет наименьшую площадь. Сопоставляя площади трех сечения, делаем вывод, что наиболее экономичным сечением является двутавр, площадь которого минимальна.