Критерий устойчивости Михайлова

Шифр

Проверил:.

Ухта 2009 г.

Содержание.

1.	Задание на выполнение контрольной работы……………...
2.	Решение, расчет передаточной функции…………………..
3.	С помощью критерия устойчивости Гурвица……………
4.	С помощью критерия устойчивости Рауса……………….
5.	С помощью критерия устойчивости Михайлова…………
6.	С помощью критерия устойчивости Найквиста………….
7.	По логарифмическим частотным характеристикам……….
8.	Меры по обеспечению устойчивости……………………….

Контрольная работа №2.

Задание на выполнение контрольной работы.

Вариант №1

Исследовать систему автоматического управления, представленную структурной схемой на устойчивость:

1. С помощью критерия устойчивости Гурвица

2. С помощью критерия устойчивости Рауса

3. С помощью критерия устойчивости Михайлова

4. С помощью критерия устойчивости Найквиста

5. По логарифмическим частотным характеристикам.

В случае, если система неустойчива, предложить меры по обеспечению устойчивости.

; ; ;

Решение:

Найдем передаточную функцию W(p).

где:

;

Подставив значения получим:

Исследуем систему на устойчивость с помощью критерия Гурвица.

Этот критерий является алгебраическим. Если задана передаточная функция системы W(p) = B(p) / A(p), то для получения характеристического уравнения надо приравнять к нулю ее знаменатель

Порядок составления матрицы Гурвица следующий. В левом верхнем углу матрицы записывается коэффициент . По главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения по мере убывания индексов. Над элементами главной диагонали записываются коэффициенты по убыванию индексов, под элементами - по возрастанию индексов. Там, где индекс больше n или меньше нуля, записываются нули.

Далее надо вычислить определители Гурвица, которые получают из матрицы путем отчёркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.

Из коэффициентов характеристического уравнения составим сначала главный определитель Гурвица:

диагональные миноры:

< 0.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: система устойчива, если все определители Гурвица больше нуля, т. е. Так как миноры матрицы меньше нуля, следовательно, система не устойчива.

Исследуем систему на устойчивость методом Рауса.

Составим таблицу:

В первой строке таблицы записываем в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четный индекс; а₀,а₂,а₄, и т.д.; во второй строке - коэффициенты характеристического уравнения, имеющие нечетный индекс; а₁,а₃,а₅.




		с₁₃ = а₂ – r₃а₃= =-0,125
		с₁₄ = а₃ – r₄с₂₃= =70,875

Из таблицы видно, что система будет неустойчивой, так как в колонке “1” есть отрицательное число, а именно с₁₃ = -0,125. А условие устойчивости Рауса формулируется так: д ля того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак.

Критерий устойчивости Михайлова

В отличие от алгебраического критерия Гурвица, этот критерий является частотным. Он основан на построении годографа характеристического вектора Годографом называется кривая, прочерчиваемая концом вектора на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до . Характеристический вектор получается из характеристического уравнения путем замены на .

Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом: система устойчива, если годограф характеристического вектора, начинаясь на положительной части действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении n квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения системы.

Характеристический вектор можно представить в виде:

где - действительная, а - мнимая часть вектора

Действительная часть:

Корни уравнения:

Мнимая часть:

V = - 1 w ³ + 10 w = - w (1 w ² -10)

- w (1 w ² - 10) = 0

Корни уравнения:

w₃ = 0.

Годограф Михайлова.

Система не устойчива.
С помощью критерия устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста - один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления - по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Так же, как и критерий Михайлова, критерий Найквиста является частотным. Он основан на построении годографа передаточной функции H(j ) разомкнутой системы. Критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом: замкнутая система устойчива, если годограф передаточной функции H(j ) разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1, j0).

Вид разорванной предложенной системы,