Анализа переходных процессов в цепи с ДВУМЯ энергоёмкими элементами

ФГБОУ ВО «Марийский государственный университет»

Электроэнергетический факультет

Кафедра «Электромеханики»

Курсовая работа

По дисциплине «Теоретические основы электротехники» на тему

«Анализ переходных процессов

В линейных цепях»

Вариант 13

Выполнил: студент

Онучин А.

Руководитель: доцент

Сидорова В.Т.

Йошкар-Ола, 2018 г

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………………...3

1 Анализа переходных процессов в цепи с одним энергоёмким элементом….…4

1.1 Классический метод……………………………………………………………..4

1.2 Операторный метод……………………………………………………………...9

2 Анализа переходных процессов в цепи с двумя энергоёмкими элементами...12

2.1 Классический метод…………………………………………………………....12

2.2 Операторный метод…………………………………………………………….18

3 Расчёт переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля……………....22

Заключение ………………………………………………………………………….28

Список литературы…………………………………………………………………29

ВВЕДЕНИЕ

Жизнь современного человека трудно представить без электричества. За последнее время широкое распространение получили автоматизация, электронизация и компьютеризация производства. Роль этих направлений и развитии производства в дальнейшем будет возрастать, что в первую очередь связано с одним из основных требований времени – повышением производительности и качества труда человека.

Дисциплина «Теоретические основы электротехники» является важной частью системы электротехнического образования. На ней базируются многие специальные курсы. Выполнение курсовой работы является важным и ответственным этапом изучения дисциплины «Теоретические основы электротехники». Основными задачами курсовой работы являются:

- анализ переходных процессов в линейных электрических цепях;

- расчет электрических цепей с одним и двумя энергоемкими элементами классическим и операторным методами;

- определение переходной и импульсной характеристик линейных цепей;

- нахождение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной и импульсной характеристикам.

Задачи моей курсовой работы определяют и её цели, которыми являются:

- изучение теории переходных процессов в линейных электрических цепях и методов их анализа;

- получение практических навыков расчета электрических цепей с одним и двумя энергоемкими элементами классическим и операторным методами;

- теоретический анализ и практические определения переходной и импульсной характеристик линейных цепей.

Выполнению поставленных задач и посвящена моя курсовая работа.

Анализа переходных процессов в цепи с одним энергоёмким элементом

Дано:

После коммутации ключ разомкнут.

Определить: .

Классический метод

1.1.1. Провести анализ переходного процесса в цепи с одним энергоёмким элементом.

1.1.2. Определить ток и напряжения на элементах цепи в переходном режиме.

1.1.3. Построить график заданного тока в интервале времени от нуля до практического завершения переходного процесса.

Решение

Согласно заданию расчётная схема цепи с одним энергоёмким элементом приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Расчётная схема цепи с одним энергоёмким элементом

Определяем токи в ветвях цепи до коммутации (ключ S замкнут).

При постоянном токе сопротивление конденсатора равно бесконечности. Тогда:

Независимое начальное условие определяется на основании первого закона коммутации:

т.е. напряжение на конденсаторе в первый момент времени после коммутации равно напряжению на конденсаторе до коммутации, а затем может плавно изменяться.

Для нахождения заданного тока составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации (ключ S замкнут), которое получим из системы уравнений электрического равновесия цепи:

Последовательно исключаем все неизвестные кроме тока :

, ,

Чтобы избавится от интеграла дифференцируем последнее уравнение по времени

Из последнего уравнения получаем дифференциальное уравнение цепи:

Подставляем исходные данные:

Решение полученного дифференциального уравнения будем искать в виде суммы свободной и вынужденной составляющих тока ветви:

Вынужденную составляющую тока находим из анализа установившегося процесса в цепи после коммутации. В установившемся режиме при постоянном токе сопротивление конденсатора равно бесконечности, и схема принимает вид изображённый на рисунке 2.

Определяем ток :

Рисунок 2 – Расчётная схема цепи после коммутации в установившемся режиме

Свободную составляющую тока находим, решая однородное дифференциальное уравнение, полученного из дифференциального уравнения цепи, приравнивая его к нулю:

Составляем характеристическое уравнение цепи:

Находим его корень:

Тогда свободная составляющая тока :

Общий вид реакции цепи соответствует сумме вынужденной и свободной составляющих тока цепи

Постоянную интегрирования А определяем по зависимым начальным условиям, т.е. по значению тока в начальный момент времени после коммутации. На основании второго закона коммутации:

Из решения, полученного выше:

Подставляя значение в уравнение реакции цепи непосредственно после коммутации, т.е. при , определяем постоянную интегрирования А:

Т.о. искомый ток после замыкания ключа будет:

Напряжения на элементах цепи:

Для построения графика функции определяем масштаб времени. Постоянная времени цепи:

Масштаб времени выберем от 0 до .

График тока представлен на рисунке 3.

Анализ графика показывает, что в момент коммутации ток i ₂ скачком уменьшился от значения до значения . Это объясняется тем, что в начальный момент времени, при размыкании ключа сопротивление цепи скачком увеличивается, а, следовательно, ток i ₂ скачком уменьшается, при этом напряжение на конденсаторе не меняется. Затем сопротивление конденсатора изменяется, и при сопротивление конденсатора постоянному току равно бесконечности, и ток i ₂ принимает установившееся значение .

Рисунок 3 – Зависимость тока i ₁ от времени

Операторный метод

1.1.1. Провести анализ переходного процесса в цепи с одним энергоёмким элементом операторным методом. Схема и величины параметров элементов цепи приведены в пункте 1.1.

1.1.2. Определить ток, указанный в пункте 1.1.2 и напряжения на элементах цепи операторным методом.

1.1.3. Провести анализ полученных результатов, сравнить их с результатами расчёта переходного процесса классическим методом.

Решение

Расчётная схема цепи приведена на рисунке 1. Согласно расчётной схеме составляем операторную схему замещения цепи после коммутации (рис. 4). Для этого заменим идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения: ЭДС идеализированного источника напряжения Е – операторной ЭДС ; идеализированную емкость – операторным сопротивлением ; мгновенные значения токов и напряжений ветвей – операторными токами и напряжениями соответственно. Внутренняя ЭДС позволяет учесть, что до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения .

I ₂(р)

R ₃

R ₄

Рисунок 4 – Операторная схема замещения цепи после коммутации

Составим уравнение электрического равновесия цепи в операторной форме используя метод двух узлов:

Подставляем исходные данные:

Операторное изображения тока :

Учитывая, что ≓ и ≓ находим выражения для тока :

Т.о.:

Определяем напряжения на элементах цепи:

Результаты, полученные операторным методом, совпадают с результатами расчёта цепи классическим методом.

анализа переходных процессов в цепи с ДВУМЯ энергоёмкими элементами

Дано:

Определить:

Классический метод

2.1.1. Получить выражение для заданного тока в переходном режиме при замыкании или размыкании ключа S в цепи с двумя энергоёмкими элементами классическим методом.

2.1.2. Найти ток в цепи используя классический метод анализа переходных процессов.

2.1.3. Построить график найденного тока в интервале времени от нуля до практического завершения переходного процесса.

Решение

Расчётная схема цепи с двумя энергоёмкими элементами приведена на рисунке 5.

Рисунок 5 – Расчётная схема цепи с двумя энергоёмкими элементами

Анализ цепи до коммутации (рис. 5, ключ S разомкнут) показывает, что ток через ёмкость равен нулю, а так же равно нулю напряжение на катушке:

Токи в цепи до коммутации:

Напряжение на конденсаторе до коммутации:

Независимые начальные условия на основании законов коммутации:

Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации (ключ S замкнут). Для этого запишем систему уравнений электрического равновесия цепи относительно неизвестных токов и напряжений её ветвей:

, ,

, .

Из полученной системы уравнений исключаем все неизвестные кроме одной переменной .

, ,

, .

Чтобы избавится от интеграла дифференцируем последнее уравнение по времени

Из последнего уравнения получаем дифференциальное уравнение цепи:

Подставляем исходные данные:

Решение полученного уравнения найдём как сумму свободной и вынужденной составляющих тока первой ветви:

Вынужденную составляющую тока находим из анализа установившегося процесса в цепи после коммутации при . В установившемся режиме при постоянном токе сопротивление катушки индуктивности равно нулю, а сопротивление конденсатора – бесконечности. Схема принимает вид, показанный на рисунке 6.

Рисунок 6 – Расчётная схема цепи после коммутации в установившемся режиме

Согласно схеме вынужденная составляющая тока первой ветви будет:

Свободную составляющую тока первой ветви находим, решая однородное дифференциальное уравнение, полученного из дифференциального уравнения цепи приравнивая его к нулю:

Для его решения составляем характеристическое уравнение цепи:

Корни характеристического уравнения:

Таким образом, свободная составляющая тока первой ветви будет равна:

Общий вид реакции цепи в переходном режиме равен сумме вынужденной и свободной составляющих тока первой ветви:

Для определения постоянных интегрирования А ₁ и А ₂ необходимы два уравнения. Первое получим из выражения для тока первой ветви в первый момент после коммутации ()

Второе уравнение получим, взяв производную от уравнения тока первой ветви:

В начальный момент времени после коммутации

Неизвестные зависимые начальные условия и определим из независимых начальных условий и уравнений электрического равновесия цепи в начальный момент после коммутации.

, ,

, .

На основании законов коммутации:

, ,

имеем:

, .

Отсюда определяем:

Тогда:

, ,

, .

Решаем совместно полученные уравнения и определяем постоянные интегрирования:

Таким образом:

, .

Подставляем постоянные интегрирования в уравнения реакции цепи:

Воспользовавшись уравнением:

окончательно получаем выражение для тока первой ветви в переходном режиме:

Т.о. ток первой ветви в переходном режиме:

График функции тока показан на рисунке 7. Как видно из рисунка колебательный процесс является суммой постоянной составляющей и синусоидальной функции. Это объясняется тем, что после замыкания накоротко резистора R ₁ в контуре СLЕ нет активного сопротивления (все элементы идеальные), следовательно, в этом контуре нет потери энергии и колебания не затухают (т.е. происходит обмен энергией между ёмкостью и индуктивностью без потерь). Постоянная составляющая тока i ₁ это постоянный ток i ₂ через резистор R ₂.

Рисунок 7 – Зависимость тока первой ветви от времени

Операторный метод

2.2.1. Операторным методом провести анализ переходного процесса в цепи с двумя энергоёмкими элементами, схема и величины параметров которой приведены в п. 2.1.

2.2.2. Операторным методом рассчитать ток указанный в пункте 2.1.2. в цепи с двумя энергоёмкими элементами.

2.2.3. Провести анализ переходного процесса с двумя энергоёмкими элементами и сравнить полученные результаты с результатами анализа классическим методом.

Решение

Расчётная схема цепи приведена на рисунке 3.

Токи в цепи до коммутации:

Напряжение на конденсаторе до коммутации:

Независимые начальные условия на основании законов коммутации:

Составляем операторную схему замещения цепи после коммутации (рис. 8). Для этого заменим идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения: ЭДС идеализированного источника напряжения Е – операторной ЭДС ; идеализированную индуктивность – операторным сопротивлением ; идеализированную ёмкость – операторным сопротивлением ; мгновенные значения токов и напряжений ветвей – операторными токами и напряжениями соответственно. Внутренняя ЭДС позволяет учесть, что до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения .

Рисунок 8 – Операторная схема замещения цепи после коммутации

Определяем операторные токи во второй и третьей ветвях:

Определяем операторный ток первой ветви:

Изображение тока первой ветви можно записать в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней:

причём степень полинома выше, чем степень полинома , а уравнение не имеет кратных корней. Для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться теоремой сложения:

≓ .

Запишем:

При

, ,

Найдём корни уравнения:

Вычислим производную и её значение при и :

Определим при и :

Подставим полученные значения в формулу для :

≓

Сумма, соответствующая последним двум слагаемым, равна удвоенному значению действительной части, найденной для одного из корней р_к. Тогда искомый ток первой ветви:

Т.о.:

Результаты, полученные операторным методом полностью совпадают с результатами расчёта цепи классическим методом.

Анализ переходного процесса в разветвленной цепи с двумя энергоемкими элементами операторным и классическим методами показал, что переходный процесс в ней носит колебательный характер. Ток первой ветви представляет собой незатухающую гармоническую функцию. Колебательный характер связан с периодическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью.

Анализа переходных процессов в цепи с ДВУМЯ энергоёмкими элементами

Поиск по сайту