Построение уравнения линейной регрессии

Занятие 7

ОСНОВЫРЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Цель работы: изучить основные приёмы проведения регрессионного анализа с помощью функций MS Excel и с использованием инструмента Пакета анализа «Регрессия».

Регрессионный анализ – статистический метод исследования зависимости случайной величины Y от переменных (j = 1, 2,…, k), рассматриваемых как неслучайные величины. Зная уравнение регрессии, можно при любых значениях Х, подставляя их в уравнение, приближённо оценить значение Y. Объясняющие переменные рассматриваются как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения, а случайная величина Y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием, являющимся функцией от :

с постоянной, независящей от аргументов, дисперсией .

Построение уравнения линейной регрессии

Пример 1. Построить уравнение линейной регрессии для следующих данных:

Проверить значимость коэффициентов регрессии и уравнения регрессии. Построить доверительный интервал для генерального коэффициента β_yx. Принять α = 0,05.

Решение.

Коэффициенты b ₀ и b ₁ вычисляются по формулам:

;

Введём исходные данные в ячейки A2:A6 (значения x) и в ячейки B2:B6 (значения y).

Для вычисления коэффициентов линейной регрессии в MS Excel используется функция ЛИНЕЙН(известные_значения_y, известные_значения_х, конст, статистика).

Аргументы функции: известные_значения_ y: множество значений результативного признака Y; известные_значения_ x: множество значений факторных признаков X_i; конст: логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы свободный член b₀ был равен 0; если конст имеет значение ИСТИНА, или опущена, то коэффициент b₀ вычисляется обычным образом; статистика ‒ логическое значение, которое указывает, требуется ли вернуть дополнительную статистику по регрессии; если статистика имеет значение ИСТИНА, то функция ЛИНЕЙН рассчитывает дополнительную статистику.

Выделим диапазон A9:B9 и введём в него функцию: =ЛИНЕЙН(B2:B6;A2:A6;1;0). Нажмём комбинацию клавиш < Ctrl >+< Shift >+< Enter > и в ячейках A9 и B9 получим результат: -0,14 (b ₁) и 2,2 (b ₀) (рис.1). То есть, уравнение приближённой регрессии имеет вид: .

После того, как уравнение регрессии найдено, необходимо провести статистический анализ результатов, который заключается в проверке значимости всех коэффициентов уравнения регрессии в сравнении с ошибкой воспроизводимости и адекватности уравнения.

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии (выдвигаются гипотезы Н ₀: b _j=0) используется t -критерий Стъюдента, наблюдаемое значение которого находят по формуле:

,

Рис. 1.

,

где: - стандартная ошибка коэффициента уравнения регрессии b_j. находится как корень квадратный из дисперсии соответствующего коэффициента регрессии:

; ;

; .

Критическое значение t_кр. находится с использованием функции СТЪЮДЕНТРАСПОБР для уровня значимости α и числа степеней свободы n - 2. Гипотеза Н ₀ отвергается с вероятностью ошибки α, если . Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии значим. В противном случае коэффициент регрессии незначим, и соответствующая переменная в модель не включается. Оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново.

Выделим диапазон B11:С15 и введём в него формулу: =ЛИНЕЙН(B2:B6;A2:A6;1;1). Нажмём комбинацию клавиш < Ctrl >+< Shift >+< Enter > и в ячейках B11:С15 получим следующие результаты: в ячейке В11 ‒ коэффициент b ₁, в ячейке С11 ‒ коэффициент b ₀. В ячейках В12, С12 ‒ стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии .

Для построенной модели вычисляется коэффициент детерминации:

‒ регрессионные остатки.

В ячейке С13 вычисляется стандартная ошибка регрессионных остатков по формуле:

В таблице также выводится сумма квадратов регрессии (ячейка В15) и сумма квадратов остатков (ячейка С15), которые вычисляются по формулам:

Рассчитаем дисперсию регрессии по формуле:

,

где: k ‒ число факторов.

В таблице приводится наблюдаемое значение критерия Фишера (ячейка В14), которое находится по формуле:

,

а также число степеней свободы остаточной дисперсии (ячейка С14).

Проверим значимость коэффициентов регрессии и самого уравнения.

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия:

; .

Критическое значение найдём с помощью функции: СТЪЮДЕНТРАСПОБР(0,05;3). Результат: t_кр. =3,182. Так как и для первого, и для второго коэффициента выполняется условие , то оба коэффициента регрессии значимы.

Проверка значимости уравнения регрессии проводится с использованием критерия Фишера. Наблюдаемое значение критерия . По уровню значимости α для числа степеней свободы df1=k и df2=n-k-1 находим критическое значение F_кр. с использованием функции: FРАСПОБР(0,05;1;3). Результат: F_кр. =10,13. Так как F_набл. > F_кр., то нулевая гипотеза Н ₀ о незначимости отклоняется и уравнение признаётся значимым.

Найдём уравнение линейной регрессии с использованием инструмента Пакета анализа «Регрессия ».

Вызовем инструмент «Регрессия» и в диалоговом окне введём следующие данные: Входной интервал Y: $B$2:$B$6; Входной интервал Х: $А$2:$А$6; Выходной интервал: $А$19; отметим галочками все пункты в разделе Остатки. Нажмём кнопку Ок. Результат состоит из четырёх таблиц и 2-х графиков.

Доверительный интервал приведён в ячейках F36:G36.

Пример 2. Построить уравнение регрессии по следующим данным:

Проверить значимость коэффициентов регрессии и уравнения регрессии. Построить доверительный интервал для генерального коэффициента β_yx. Найти доверительные границы для уравнения регрессии и построить соответствующие графики. Принять α=0,05. Указание: при решении задачи использовать функции MS Excel.

Решение.

Записать исходные данные в диапазон А2:В13 (рис.3). В ячейках А1:С1 и D2:D13 ввести для наглядности обозначения.

В ячейку Е2 ввести формулу:

=(СУММ(А2:А13)*СУММ(В2:В13)-12*СУММПРОИЗВ(А2:А13;В2:В13))/

(СУММ(А2:А13)^2-12*СУММКВ(А2:А13)).

В ячейку Е3 ввести формулу:

=СРЗНАЧ(В2:В13)-Е2*СРЗНАЧ(А2:А13).

В ячейках Е2, Е3 получатся коэффициенты уравнения регрессии и . Уравнение регрессии имеет вид:

.

В ячейки Е4:Е16 ввести формулы, как показано в таблице.

Указание. После ввода формул в ячейки Е7 и Е12 следует нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, так как используются формулы массива.

Результаты вычислений представлены в таблице.