Саратовский государственный технический университет
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫРЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания
к самостоятельной работе по курсу «Высшая математика»
для студентов всех специальностей
под контролем преподавателя
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2008
Введение
Данная работа ориентирована на изучение некоторых численных методов приближенного решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений, составление на базе этих методов вычислительных схем алгоритмов и программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV.
Методические указания могут быть использованы как в процессе выполнения курсовой работы, так и для решения практических задач.
Задача настоящих указаний состоит в том, чтобы научить студентов решать системы нелинейных уравнений с помощью ЭВМ и затем полученные навыки использовать в курсовом и дипломном проектировании.
Предполагается, что студенты прослушали лекционный курс по основам алгоритмического языка ФОРТРАН – IV.
В качестве справочного пособия по языкам программирования может быть использована литература. [5]
Численные методы для решения нелинейных уравнений
Цель работы: изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений, составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV, приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.
Определения и условные обозначения
– конечномерное линейное пространство, элементами (точками, векторами) являются группы из 
упорядоченных действительных чисел, например:
где 
– действительные числа, 
.
В введена операция сложения элементов, т. е. 
определено отображение 
,
где 
Оно обладает следующими свойствами:
1. 
,
2. 
,
3. 
, что 
(элемент 
называется нулевым),
4. 
, что 
(элемент 
называется противоположным элементу 
).
В введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е. 
определено отображение 
,
где 
Оно обладает следующими свойствами:
1. 
,
2. 
Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:
1. 
,
2. 
.
Каждой паре элементов 
поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом 
и называемое скалярным произведением, где
и выполнены следующие условия:
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
, причем 
– нулевой элемент.
Матрица 
вида
, (1)
где 
– действительные числа (
, 
) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство в себя, а именно, для 
,
где 
.
Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве , вводятся следующие операции:
1. сложение операторов 
, при этом, если 
, то 
,
2. умножение операторов на числа: 
при этом, если 
, то 
,
3. умножение операторов: 
, при этом, если 
, то 
.
Обратным к оператору 
называется оператор 
такой, что 
, где 
– единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно,
.
Пусть число 
и элемент 
, таковы, что 
.
Тогда число называется собственным числом линейного оператора 
, а элемент – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .
Линейный оператор 
называется сопряженным к оператору , если для любых элементов 
выполняется равенство 
.
Для всякого оператора сопряженный оператор существует, единствен; если 
, то 
.
Справедливы равенства:
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
, если существует.
Каждому элементу 
ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом 
и называемое нормой элемента 
.
Введем в рассмотрение три нормы для :
,
,
.
При этом выполняются следующие неравенства:
.
Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
1. 
, причем 
, лишь если 
,
2. 
,
3. 
.
Говорят, что последовательность элементов 
сходится к элементу 
,
а именно, 
,
или 
,
если 
.
Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве 
называется сходимостью по норме.
Множество элементов , удовлетворяющих неравенству 
называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве 
с центром в точке 
и обозначается 
.
Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом 
и называемое нормой линейного оператора .
Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:
4.4 
, причем 
, лишь если 
– нулевая матрица,
4.4 
,
4.4 
.
Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего в :
,
,
,
где 
i- ое собственное значение матрицы 
.
Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора) в смысле условия 
.
2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в
Общая форма систем нелинейных уравнений в имеет вид:
(2)
или F (x) = 0,
где 
– заданные функции n переменных, 
– неизвестные.
Функция 
при действительных значениях аргументов принимают действительные значения, т.е. являются действительнозначными. Вычислять будем только действительные решения.
Решением системы нелинейных уравнений (2) называется совокупность (группа) чисел 
, которые, будучи подставлены на место неизвестных 
, обращают каждое уравнение системы в тождество.
Частным случаем системы (2) является система линейных уравнений:
или 
,
где А – матрица вида (1), порождающая линейный оператор, отображающий в
Система линейных уравнений (2) поставим в соответствие линеаризованное уравнение (первые два члена из разложения в ряд Тейлора (2)) в точке 
вида
(2 
)
или 
,
где 
– квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций, а именно 
, вычисленных точке 
.
Для дальнейшего нам потребуется еще одна форма записи системы нелинейных уравнений в 
, а именно:
(3)
или 
,
где 
.
Операции, с помощью которых осуществляется преобразование системы (2) к системе (3), могут быть любыми, необходимо только, чтобы искомое решение системы (3) удовлетворялосистеме (2).
Функции 
удовлетворяют тем же условиям, что и функции 
.
Отделение решений
Задача отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть при этом в область сходимости метода.
Задача отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые рекомендации для конкретных видов уравнений.
Так, если дано скалярное уравнение 
, то его решение с геометрической точки зрения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Построив график функции y=f ( x ), приближенно определяем окрестности изолированных точек пересечения графика с горизонтальной осью. Сами точки пересечения берем за начальные приближения к точным решениям.
Безусловно, графические построения имеют большие погрешности, и выбранные начальные приближения могут не попасть в область сходимости применяемого метода.
Тогда нужно провести пробные решения на ЭВМ выбранным методом с исследованием сходимости.
Если приближения сходятся, то начальные приближения выбраны в области сходимости метода и можно получить приближенное решение с заданной точностью.
Если приближения расходятся, следует провести более точные графические построения и выбрать начальное приближение в области сходимости.
Аналогично отделяются решения для системы двух нелинейных уравнений
, 
.
В этом случае на плоскости x,y строятся линии уровня функции двух переменных 
и 
. Координаты точек пересечения графиков этих функций дают начальные приближения изолированных решений.