Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.
Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике, варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее, можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики. Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.
Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.
В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.
Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.
Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:
· качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;
· исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда вычисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимно погашаются;
· при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показателъ (свойство), на который она должна быть ориентирована.
Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.
Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, – групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.
Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.
В экономическом анализе использование средних величин является основным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.
Средняя величина есть обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку.
Она отражает определённый уровень, достигнутый в процессе развития явления к определённому периоду или моменту времени.
Средняя величина – абстрактная величина. Поэтому анализ проводимый при ней всегда дополняется показом индивидуальных величин.
Среднее может быть вычислено только для какой-то однородной совокупности.
Расчёт средней необходимо сочетать с группировкой.
В статистике рассчитывают индивидуальные и общие средние.
Общее среднее затушёвывает существенные (существующие) отличия между явлениями таким образом во многих случаях они становятся фиктивными.
Признак, по которым находится среднее называется усредняемое (Х). Величина усредняемого признака у каждой единицы совокупности называется индивидуальное значение.
Значение признака, которое встречается у крупных единиц или отдельных единиц и не повторяется называется вариантами признака (Х1, Х2, …).
Средняя арифметическая.
Средняя арифметическая простая (рассчитывается по несгруппированным данным):
. 
,
где x1,x2, …, xn-значение признака (варианты), n- число вариантов.
Средняя арифметическая взвешенная (рассчитывается по сгруппированным данным):
,
где f1, f2, …, fn - веса (частоты) значений признака.
f- частота повторения соответствующих вариантов в статистике называется весом.
Пример: 1) Вычислить средний возраст выпуска, возраст которого: 24,22,25,24,25,24,22,22,24,26 лет.
Расчёт по средней арифметической простой:
2. Расчёт по средней арифметической взвешенной.
Число выпускников (f)
Сумма возрастов (хf)
Сумма
.
Свойства средней арифметической:
1. Сумма отклонений значений признака от средней арифметической равно 0.
.
2. Если от каждого варианта вычесть или к каждому варианту прибавить какое-либо постоянное число, то среднее увеличится или уменьшится на то же самое число.
3. Если каждый вариант умножить или разделить на какое-либо число, то среднее уменьшится или увеличится во столько же раз.
4. Если веса или частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.
Это свойство даёт возможность частоты заменять их удельными весами
,
где р – удельный вес, выраженный в процентах.
Если удельный вес выражается в доле, то
.
Средняя гармоническая.
Рассчитывается, когда
1) среднее арифметическое по имеющимся данным рассчитать невозможно,
2) расчет средней гармонической более удобен.
Средняя гармоническая простая: 
.
Средняя гармоническая взвешенная 
:.
Пример: требуется вычислить производительность труда рабочей силы, если первому рабочему требуется для изготовления единицы продукции 0,25 часа, второму – 1/3 часа, третьему – 1/2 часа.
.
Средняя геометрическая.
Средняя геометрическая простая:
.
Средняя геометрическая взвешенная:
.
Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.
Средняя квадратическая.
Средняя квадратическая простая:
.
Средняя квадратическая взвешенная:
.
Пример: Оценка за ответ на первый вопрос – 2, на второй вопрос – 5.
Структурные средние
Для того чтобы определить среднее в некоторых случаях нет необходимости, или возможности прибегать к расчёту степенных средних в этих случаях появляется возможность или необходимость расчёта структурной средней.
Если величина средней (ср. арифметической) зависит от всех значений признака, встречаемых в данном распределении, то значение структурной средней определяется структурой распределения, местом распределения. Отсюда их названия.
Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Медиана делит совокупность на две равные части.
Медиана в интервальном ряду рассчитывается следующим образом:
Для определения медианы прежде всего исчисляют её порядковый номер по формуле
или
(для интервальных рядов) и строят ряд накопленных частот. Накопленной частоте, которая равна порядковому номеру медианы или первая его превышает, в дискретном вариационном ряду соответствует вариант, являющийся медианой, а в интервальном вариационном ряду – медианный интервал.
где Х0 – нижняя граница медианного интервала,
d – величина медианного интервала,
fi – частота i-го интервала,
Sме-1 – сумма накопленных весов по интервалу предшествующему медианному,
fMe – частота медианного интервала.
Пример: Имеются данные о з/п рабочих:
Месячная з/п (руб)
х
Количество рабочих,
fi
Накопленные частоты,
Si
До 800
800- 1000
1000- 1200
1200- 1400
1400 и более
Итого
,
.
Мода – значение признака, которое чаще других встречается в данном ряду распределения.
Мода для дискретного ряда определяется как варианта, имеющая наибольшую частоту.
Для интервального ряда:
,
где Х0 –нижняя граница модального интервала,
d – величина модального интервала,
fMo-1 – частота (вес) интервала, предшествующего модальному,
fMo – частота (вес) модального интервала,
fMo+1 – частота (вес) интервала, следующего за модальным.
Пример: (См. предыдущую задачу)
.
Средние величины и показатели вариации - Статистика (Неганова Л.М., 2010) (be5.biz)