Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Тема: Решение определителей матриц.

Вычисление обратной матрицы.

Цель: закрепить навыки по вычислению определителей второго, третьего и высших порядков.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Вычислить определитель второго порядка
2. Вычислить определитель третьего порядка
3. Понятие обратной матрицы.
4. Правило вычисления обратных матриц второго и третьего порядков.
5. Свойства обратной матрицы.

Определители. Основные понятия.

Определитель – это число, которое по специальным правилам вычисляется для каждой квадратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

Определителем (или детерминантом) второго порядка называется число . Определитель второго порядка записывается так: detA= =

Определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагонали.

Определитель квадратной матрицы порядка n можнообозначитьтакже Δ или│A│.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Пример 1. Найти определители матриц:

a) ; б)

Решение.

a) =2∙6-(-3)∙5=27

b)

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

Определителем 3-го порядка, соответствующим данной матрице, называется число

Определитель третьего порядка записывается так:

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части берутся со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно использовать следующее правилотреугольников (правилом Саррюса), которое символически можно записать так:

Пример 2. Вычислить определитель матрицы

Решение.

detA=5∙1∙(-3)+3∙0∙1+(-2)∙(-4)∙6-1∙1∙6-5∙(-4)∙0-3∙(-2)∙(-3)=-15+0+48-6-0-18=9

Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Минором некоторого элемента определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Например, Минор М₁₂ , соответствующий элементу определителя , получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец, т.е. .

Пример 3. Записать все миноры определителя

Решение.

, , ,

, , ,

, , .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента принято обозначать .

Таким образом, .

Знаки алгебраического дополнения А_ij:

Пример 4. Найти алгебраические дополнения элементов определителя .

Решение.

.

Обратная матрица.

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка

Квадратная матрица А^-1 порядка n называется обратной матрицей для данной матрицы A, если , где − E единичная матрица.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель detA

равен 0 т.е detA=0.

В противном случае (detA≠0) матрица А называется невырожденной.

Обратная матрица имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема. Всякая невырожденная матрица А имеет обратную матрицу A^-1, определяемую формулой

где A₁₁, A₁₂, …, A_nn есть алгебраические дополнения соответствующих элементов a₁₁, a₁₂,…, a_nn матрицы А.

Правило вычисления обратных матриц n-го порядка

1. Находят определитель матрицы А т.е. detA.
2. Находят алгебраические дополнения всех элементов матрицы А.
3. Умножают полученную транспонированную матрицу на .

Нахождение обратной матрицы имеет большое значения при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.