ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

 

Моделирование, как метод изучения гидродинамических процессов, нашел широкое применение для решения разнообразных теоретических и практических задач.

Важными достоинствами этого метода являются, возможность использования различных по природе моделей, получение результатов в наглядном и обобщенном виде, пригодных для целого класса систем рассматриваемого типа.

При физическом моделировании интересующее нас явление (процесс) изучается на уменьшенной модели той же физической природы.

При физическом моделировании интересующее нас явление (процесс) изучается на уменьшенной модели той жефизической природы.

Основой моделирования являются законы механического подобия, которые устанавливают определенные соотношения между гео­метрическими, кинематическими и динамическими характеристиками в модели и натурной установке. Для полного механического подобия потоков необходимо обеспечить их геометрическое, кинематическое, динамическое подобие.

Геометрическое подобие Два потока геометрически подобны, если отношение любых линейных размеров рассматриваемых потоков одинаково. Для натурного и модельного лотовое должно выполняться:

 

l_н/l_м=k_l=const. (1.1)

 

Коэффициент k_l выражает пропорциональность между линейными размерами обоих потоков и называется линейным масштабом.

Для площадей и объемов потоков очевидны следующие соотношения.

 

ɷ_н/ɷ_м=k₁²; (1.2)

 

W_н/W_м=k₂³. (1.3)

 

В геометрически подобной модели трубопровода век размеры – длина, диаметр, высота элементов шероховатости, должны быть меньше по сравнению с натурными условиями в k раз.

Кинематическое подобие. В сходственных точках потоков (натурного и модельного) при условии их геометрического подобии должно обеспечиваться постоянство кинематических характеристик. Это означает, что скорости и ускорения в соответствующие моменты времени подчиняются соотношениям:

 

υ_н/υ_м=k_υ=const; (1.4)

 

а_н/a_м=k_a=const. (1.5)

 

где k_υ, k_a – соответственно масштабы скорости и ускорения. Очевидно, должен быть постоянным и масштаб времени:

 

k_t=t_н/t_м= const, (1.6)

 

где t_н, t_м – интервалы времени в натуре и модели, в течение которых соответственные частицы жидкости проходят геометрически подобные и одинаково ориентированные в пространстве отрезки траектории t_н и t_м.

Динамическое подобие. Для пары сходственных точек должно обеспечиваться подобие действующих в них одноименных сил (внутреннего трения, силы тяжести и др.)

Масштаб сил определяется соотношением:

 

k_F=F_н/F_м= const, (1.7)

 

 

где F – действующая сила.

Потоки жидкости, удовлетворяющие одновременно условиям геометрического, кинематического и динамического подобия, называются гидродинамически подобными, а рассмотренные выше коэффициенты пропорциональности – масштабными множителями.

Выбор масштабных множителей выполняется путем анализа критериев динамического подобия, структура которых зависит от соотношения действующих в жидкости сил.

В движущейся жидкости действуют различные по своей природе силы: давления, внутреннего трения, тяжести, инерция и др. Условия полного гидродинамического подобия требуют соблюдения пропорциональности всех действующих сил в модели и натуре. Однако на практике выполнить такое требование затруднительно, поэтому обычно обеспечивают частичное (неполное) подобие, при котором соблюдается пропорциональность лишь основных, преобладающих сил.

Для напорных потоков в трубах основными силами являются силы давления, трения и инерции. Выражай силы инерции произведением массы на ускорение F =та, с учетом зависимости т = ρW, получим отношение сил в подобных потоках в виде:

 

F_н/F_м = (ρW а)_н /(ρW а)_м =k_ρ•k₁³ •k₁ /kt²= k_ρ•k_υ² •k₁². (1.8)

 

где k_р — масштаб плотностей.

Таким образом, масштаб сил равен:

 

k_F=F_н/F_м = k_ρ•k_υ² •k₁²

 

или

 

k_F = k_ρ•k_υ² •k₁² =1 (1.9 а)

 

Следует, что силы инерции пропорциональны плотности, скорости и линейному размеру во второй степени.

После замены масштабных множителей соответствующими от­ношениями, получим:

 

(F/ρl²υ²)_н=(F/ρl²υ²)_м= idem. (1.10)

 

Отношение F/ρl²υ²=Nе называют числом (критерием) Ньютона. Полученное выражение представляет собой общий вид закона гидродинамического подобия, на его основе с учетом соотношения дейст­вующих сил можно получить частные случаи гидродинамического подобия.

Частные случаи подобия. При действии сип трения и инерции, выражая силы трения согласно закону внутреннего трения Ньютона, получим:

 

F_тр=µ(d u /d n)S~νρ(υ/ L) L ²~νρυ L,

 

где S – поверхность трения;

L – характерный геометрический размер потока.

После деления последнего выражения на ρυ² L ² условие подобия примет вид:

 

(υL/ν)_н = (υL/ν)_м

 

или

 

(υL/ν)_н = (υL/ν)_м = Rе =idem, (1.11)

 

где Rе – безразмерный критерий (число) Рейнольдса.

В качестве характерного размера L при определении числаРейнольдса принимается поперечный размер потока, например, диаметрсечения.

При действии сил тяжести и инерции, представляя силу тяже­сти известным выражением G = тg = ρ W g ~ ρg L ³, условие подобия получим в виде:

 

(ρg L ³/ρυ² L ²)_н = (ρg L ³/ρυ² L ²)_м

 

или

 

(υ²/gL)_н = (υ²/ gL)_м = Fr = idem, (1.12)

 

где Fг – безразмерный критерий (число) Фруда.

Аналогично находится критерий частичного динамического подобия, учитывающий действие сил давления и инерции. Сила давления Р =рω ~рL ²и после деления на ρυ² L ² получим:

 

(рL ²/ ρυ² L ²)_н = (рL ²/ ρυ² L ²)_м

 

 

или

 

(р/ ρυ²)_н = (р/ ρυ²)_м = Еu = idem, (1.13)

 

где Еu – критерий Эйлера.

Таким образом, в зависимости от соотношения сил трения, тяжести, давления и инерции гидродинамическое подобие поток в модели и натуре будет обеспечиваться при равенстве соответствующих критериев Рейнольдса, Фруда или Эйлера.

Определяющие и неопределяющие критерии подобия. Течение жидкости описывается системой уравнений движения и неразрывности с условиями однозначности (начальными и граничными условиями для искомых функций). Последние однозначно определяют движение жидкости в рассматриваемой гидравлической системе.

Критерии подобия, составленные только из условий однозначности, называют определяющими. Остальные критерии (полученные из дифференциальных уравнений) относят к числу неопределяющих.

К примеру, решается задача об определении перепада давления ∆ p в круглом трубопроводе диаметром d и длиной l, с шероховатостью стенок ∆ при заданных средней скорости движения υ и кинематической вязкости жидкости ν.

Перепад давления входит в критерий Эйлера Eu = ρυ²/∆ p. Поскольку при неизвестном перепаде давления этот критерий нельзя определить, он является неопределяющим. В то же время, число Рейнольдса легко находится по заданным значениям диаметра трубопровода, средней скорости и вязкости: Re = υd/ν. Следовательно, его следует рассматривать как определяющий критерий. Определяющими критериями будут также величины ∆/d и l/d.

Возможно существование области течения, когда какой – либо параметр, характеризующий гидравлическое явление, перестает зависеть от того или иного критерия подобия (так называемая автомодельная область). При наличии автомодельной области возможности моделирования расширяются, поскольку отпадает необходимость удовлетворять некоторым критериям подобия.

Использование методов теории подобия требует знания физической сущности гидравлического явления (процесса), правильного установления определяющих критериев подобия.

Уравнения, описывающие рассматриваемый процесс, принято приводить к безразмерному виду, вводя некоторые характерные значения определяющих физических параметров. Сравнение членов исходных и безразмерных уравнений позволяет выявить безразмерные комплексы величин (критерии подобия). Указанным образом, путем введения характерных значений длины и стрости, из стационарных уравнений Навье – Стокса выводятся критерии подобия Рейнольдса, Фруда и Эйлера.

Если теория процесса отсутствует, определяющие критерии подо­бия могут быть найдены на основе методов анализа размерностей физических величин. Основой такого анализа является π – теорема. Для ее применения нужно знать (из опыта или логических рассуждении) какие физические величины существенны для рассматриваемого процесса.

Функциональная зависимость, описывающая связь некоторых размерных величин (a ₁,...., а_п) может быть представлена в виде:

 

φ(a ₁, a ₂, a ₃,...., а_п)= 0. (1.15)

 

Согласно π – теореме, из указанных п размерных величин, выра­женных через N независимых размерных единиц, можно получить n – N безразмерных комплексов π (с включением в каждого из них N+1 размерных величин):

φ(π ₁, π ₂, π ₃,...., π _n-N)= 0= 0. (1.16)

 

При анализе гидравлических явлений в качестве независимых раз­мерных единиц принимают обычно три величины: массу, длину и время. Безразмерные комплексы (π) записывают в виде степенных за­висимостей:

 

π₁=a₁^α1 a₂^β1 a₃^γ1 a₄;

π₂= a₁^α2 a₂^β2 a₃^γ2a₅;

………………….. (1.17)

π _n-N= a₁^αn-N a₂^βn-N a₃^γn-Na_n.

 

Неизвестные показатели степени α, β, γ находят из условия, что комплексы π являются безразмерными.

При физическом моделировании интересующее нас явление (процесс) изучается на модели той же физической природы.

Важным достоинством метода является возможность изготовле­ния модели в любом масштабе и применения в модели жидкости с другой вязкостью. Требование минимизации затрат на проведение экспериментальных работ диктует, как правило, изготовление модели с меньшими размерами, чем натурный объект.

Основные правила гидравлического моделирования:

1) Целесообразно по возможности схематизировать (упростить) изучаемый процесс.

2) Следует выделить основные физические факторы, опреде­ляющие движение жидкости в рамках принятой его схематизации.

3) Для модели и натурного объекта должно быть обеспечено по­добие геометрических, кинематических и динамических характеристик.

Анализ уравнений движения вязкой жидкости показывает, что давление изменяется под действием сил инерции, тяжести и трения. При этом влияние силы тяжести незначительно и можно не учитывать в процессе моделирования критерий Фруда. Определяющим критери­ем подобия при моделировании напорных потоков является число Рейнольдса. Критерий Эйлера, включающий давление (или перепад давления), считают неопределяющим.

Основная задача моделирования – установить конкретный вид функциональной зависимости:

 

Еu = ƒ(Rе, ∆/d, l/d). (1.14)

 

При моделировании размеры модели, как правило, меньше нату­ры и геометрическим масштабом задаются, исходя из обеспечения условия подобия шероховатости.

Масштаб скорости определяют по соотношению

 

Rе_н/Rе_м = k_υ•k_d •k_ν^-1 (1.18)

 

отсюда

 

k_υ = Rе_н/(k_d • k_d •k_ν^-1 Re_м). (1.19)

 

В случае одинаковой жидкости в натуре и модели ν_н = ν_м, k_у = 1 и масштаб скорости находится из условия

 

Rе_н/Re_н = k_υ•k_d = 1

 

или

 

k_υ = k_d^-1.

 

Пример решения задач

 

Пример 1. Требуется изготовить модель для изучения движе­ния воздуха (ρ = 1,2 кг/м) в трубопроводе диаметром d = 200 мм и длиной l = 16 м, при расходе Q = 0,3 м³/с. Геометрический масштаб модели 1:4, Определить скорость модельной жидкости (вода), при которой будет соблюдаться кинематическое подобие течений в натурном объекте и модели.

Решение. Необходимо обеспечить равенство критериев Рейнольдса в натурном объекте и модели, т.е. Rе_н = Rе_м.

Скорость движения воздуха в трубопроводе

 

υ_н = 4 Q / πd ² = 4•0,3/3,14 • 0,2² = 9,56 м/с.

 

Из равенства υ _н d _н/ν_н= υ _м d _м/ν_мнаходим скорость модельной жидкости

 

υ _м= υ _н d _н ν_м / d _м ν_н = 9,56 • 0,2 • 0,01 •10^-4/0,05 • 1,49 • 10^-5 = 2,57 м/с.

 

Здесь принята кинематическая вязкость воздуха ν_н = 1,49 • 10^-5 м²/с, воды – ν_м = 0,01 • 10^-4 м²/с.

 

Пример 2. Изготавливается модель технологического трубо­провода диаметром d = 100 мм и длиной l = 25 м для подачи жидкого продукта ρ = 1030 кг/м³ и вязкостью ν = 0,024 • 10^-4 м²/с при расходе Q = 15 л/с и перепаде давления ∆ p =100 кПа.

Определить при каких условиях обеспечивается геометрическое, кинематическое и динамическое подобие натурного объекта и модели.

Решение. Для геометрического подобия нужно выполнить l _н/ d _н =

= l _м/ d _м = const.

В натурном объекте имеем l _н/ d _н = 25/0,1 = 250. Задаваясь из со­ображений" целесообразности для модели l _м = 5 м (геометрический масштаб 5:1), найдем диаметр модельного трубопровода

 

d _м = l _м d _н / l _н = 5 • 0,1/25 = 0,02м.

 

Также должно соблюдаться условие ∆/ d = idem, где ∆ – абсо­лютная шероховатость стенок трубы,

В натурном объекте при ∆ = 0,1 мм (новая стальная труба) имеем ∆_н/ d _н = 0,1/100 = 0,001. Тогда в модели при найденном диаметре d _м = 0,02 м шероховатость должна быть равна

 

∆_м = 0,001 d _м = 0,001 • 0,02 = 2 – 10^-5 м = 0,02 мм.

 

Для обеспечения подобия течений необходимо равенство критериев Рейнольдса: Re_и = Rе_м или υ _н d _н/ν_н= υ _м d _м/ν_м.

При использовании в модели той же жидкости (ν_н = ν_м) получим

υ _н d _н = υ _м d _м.

Скорость жидкости в натурном объекте

 

υ _н = 4 Q / πd_н ² = 4 • 0,015/3,14 • 0.1² = 1,9 м/с

 

С учетом кинематического подобия скорость потока в модели составит

 

υ _м= υ _н d _н/ d _м = 1,9 • 0,1/0,02 = 9,5 м/с.

 

Такая скорость потребует больших затрат энергии на перемещение жидкости. Поэтому целесообразно моделирование выполнить на другой жидкости. Из равенства критериев Рейнольдса для натурного объекта и модели находим кинематическую вязкость модельной жид­кости (принимая υ _м = 4 м/с):

 

ν_м = ν_н υ _м d _м / υ _н d _н = 0,024•10^-4 •4•0,02/1,9 • 0,1 = 0,0101 • 10^-4 м²/с,

 

Полученное значение вязкости соответствует вязкости воды при температуре 20°С.

Для обеспечения частичного динамического подобия потоков необходимо равенство критериев Эйлера, т.е. Еu_н = Еu_м или (∆ р /ρ υ ²)_н = (∆ p /ρ υ ²)_м.

Для натурной установки имеем

 

Еu_н = (∆ р /ρ υ ²)_н=100•10³/1030 • 1.9² = 26,9.

 

Необходимый перепад давления для модели:

 

∆ р _м = Еu_н • (ρ υ ²)_м = 26,9 • 1000•4² = 430400Па = 430,4кПа.

 

Таким образом, с использованием законов подобия обоснованы параметры модельной установки: трубопровод – дайной 5 м и диаметром 0,02 м при шероховатости стенок 0,02 мм, жидкость – вода с тем­пературой 20°С, требуемый перепад давления — не менее 430,4 кПа.

 

Пример 3. Предположим, что исследуется движение вязкой жидкости в трубопроводе, в котором при моделировании следует учи­тывать как силы внутреннего трения жидкости, обусловленные ее вязкостью, так и массовые гравитационные – силы тяжести.

Решение. Для обеспечения полного динамического подобия требуется ра­венство критериев Re и Fr на модели и в натуре.

Для одних и тех же гравитационных условий принимаем .

Тогда при моделировании по Рейнольдсу отношение средних ско­ростей движения жидкости в трубопроводе (натурном и мо­дельном) должно удовлетворять условию:

. (7.25)

При моделировании по Фруду

. (7.26)

Сопоставляем полученные выражения (7.25) и (7.26) и находим

.

Отсюда

. (7.27)

Из выражения (7.27) следует, что для соблюдения полного ди­на­мического подобия в модели должна применяться жидкость, кинематическая вязкость которой будет в k ^1,5 раз меньше натурной жидкости.

Например, если при моделировании принять линейный масштаб , то

.

Очевидно, что найти жидкость со столь малой вязкостью прак­тически невозможно.

Это указывает на то, что при реальных масштабах физических ве­личин подтверждается несовместимость двух основных критериев подобия: Reи Fr.

Кроме того, очевидна невозможность полного динамического по­до­бия потоков одной и той же жидкости.