МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Математическое моделирование выполняется на модели другой физической природы, имеющей одинаковое с изучаемым процессом математическое описание.

В случаях, когда затруднительно построить модель, подобную оригиналу, предпочтение следует отдавать математическому моделированию.

Применение метода аналогий. Основой моделирования являет­ся известная аналогия математического описания явлений (процессов) различной физической природы (движения несжимаемой жидкости, движения электрического тока, диффузии, теплопроводности).

Впервые метод аналогий использован в начале 20 – х гг. прошлого столетия Н.Н. Павловским для исследования фильтрации воды под гидротехническими сооружениями. В основе моделирования соответ­ствие уравнений фильтрации жидкости через пористую среду:

 

υ = – K_ф(grad p), (1.21)

 

где υ – скорость фильтрации;

К_ф – коэффициент фильтрации;

р – давление, и движения электрического тока в проводнике:

 

i = – χ (grad u). (1.22)

 

i – плотность тока;

χ – удельная проводимость;

и – потенциал.

Очевидно, что уравнения имеют одинаковую структуру и отли­чаются только обозначением величин. Следовательно, возможно изучение движения жидкости на электрической модели. Этот метод мо­делирования назван электрогидродинамической аналогией (ЭГДА).

Для аналогового моделирования методом ЭГДА обычно исполь­зуется электропроводящая бумага. Модель изготавливается с соблю­дением геометрического подобия с натурным объектом. Разность потенциалов, подведенная к граничным сечениям потока, обеспечивает в исследуемой области течения соответствующее поле напряжений. По результатам измерения напряжений в различных точках потока строится гидродинамическая сетка, и определяются искомые характе­ристики – давление, скорость и расход.

В последующем были созданы специализированные сеточные электрические модели, которые позволили моделировать трехмерные физические поля.

В гидравлике область использования указанных аналоговых мо­делей ограничивается изучением движения идеальной жидкости, что требует внесения поправочных опытных коэффициентов в получен­ные решения. Кроме того, не всегда возможно создать адекватную модель для сложного натурного объекта, когда условия подобия включают несколько критериев.

Моделирование на ЭВМ. Дальнейшее расширение возможно­стей математического моделирования связано с использованием ЭВМ. Вычислительную машину, выполняющую расчет процесса на основе математического описании, можно считать материальной моделью. Применение вычислительной техники позволяет реализовать строгий теоретический подход к описанию реальных процессов и численное решение задачи во многих практически важных приложениях,

При решении задачи на ЭВМ соблюдаются основные требова­ния к моделированию: результат моделирования количественно рас­пространяется на оригинал, а затраты на реализацию решения обычно меньше, чем на натурный эксперимент, Исключение составляют уни­версальные программные продукты, стоимость которых может быть достаточно большой.

Основные этапы математического моделирования:

1) на основе выбранной физической модели рассматриваемого процесса составляется система математических уравнений;

2) производится выбор метода решения совместной системы уравнений;

3) выполняется численное решение задачи на ЭВМ;

4) проводится анализ полученных результатов и уточняется адекватность математической модели реальному объекту.

Математические модели процессов могут включать как алгебраические, так и дифференциальные уравнения (линейные и нелинейные). Их решение возможно на цифровых и аналоговых вычислительных машинах. Программа решения разрабатывается в виде блок – схемы, которая определяет последовательность выполнения вычислительных операции.

В последние годы для современной вычислительной техники разработаны специализированные программные продукты (Flow Vision, Gas Dynamics Тооl и др.), позволяющие решать достаточно сложные задачи механики жидкости.

Пример 1. Требуется перекачивать нефть или нефтепродукт с массовым расходом M по горизонтально расположенному трубопроводу диаметром d и длиной l. При этом в начальном x = 0 и конечном x = l сечениях трубопровода необходимо поддерживать постоянные давления p₀ и p_l, соответственно.

Примем, что из-за потерь на трение давление p₀ в начальном сечении трубопровода не обеспечивает давления p_l во входном сечении трубопровода. Следовательно, на заданном участке трубопровода необходимо разместить насосную станцию.

Решение. Перейдем к математической описании поставленной задачи. Практика эксплуатации магистральных нефте и нефтепродуктопроводов свидетельствует, что при включении насосной станции происходит кратковременное изменение динамических параметров потока, и через определенное время трубопровода устанавливается стационарный режим. Поэтому для описания состояния данного трубопровода можно использовать математическую модель стационарного режима работы трубопровода. Математическую модель стационарного режима работы трубопровода при наличии насосной станции представим в следующем виде:

где p - давление, u - средняя по поперечному сечению трубопровода скорость движения перекачиваемой жидкости, δ (x − ξ) - дельта функция Дирака, τ m - касательное напряжение на стенке трубопровода, ξ - точка расположения насосной станции, p_ξ -давление, развиваемое насосной станцией.

Предположим, что давление p_ξ неизвестно и подлежит определению. А место расположения насосной станции, а также давление и массовый расход жидкости в начальном и конечном сечениях трубопровода считаем заданными, т.е. для системы (1) имеем следующие граничные условия

где S - площадь поперечного сечения трубопровода.

Примем, что перекачиваемая жидкость вязкая и касательное напряжение на стенке трубопровода можно определить по формуле

(4)

полученной на основе закона трения Ньютона, а в качестве уравнения состояния жидкости используем

(5)

где β - коэффициент объемного сжатия жидкости, ρ a - плотность жидкости при давлении p_a, µ - коэффициент вязкости жидкости.

Нетрудно видеть, что интегрируя второе уравнение системы (1), можно записать

(6)

Тогда первое уравнение системы (1) с помощью соотношений (4), (5), (6) преобразуется к следующему виду

(7)

Наличие дельта функции в уравнении (7) показывает, что из-за наличия насосной станции в сечении ξ трубопровод разбивается на две зоны: от начала трубопровода до места расположения насосной станции и от места расположения насосной станции до конца. Следовательно, будем рассматривать две задачи:

для первой зоны, 0 < x < ξ:

для второй зоны, ξ < x < l:

где давление и плотность в первой зоне обозначены индексом «-», а второй зоне индексом «+».

Интегрируя уравнения (8) и (10) с учетом условий (9), (11) будем иметь

Разрешая первое уравнение последней системы относительно p₋, а второе уравнение относительно p₊, предварительно воспользовавшись разложением функции в ряд Тейлора и ограничившись двумя первыми членами ряда

получим

Теперь для определения давления p_ξ, развиваемого насосной станцией, обе части уравнения (7) разделим на ρ и проинтегрируем на отрезке [ξ − ε,ξ + ε ]. В результате будем иметь:

Учитывая выражения для p₋ (x) и p₊ (x) из (12), (13), окончательно получим следующую формулу для определения p_ξ

(14)

Таким образом, задавая массовый расход жидкости и давление в начальном и конечном сечениях трубопровода, с помощью формул (12) и (13) можно найти распределение давления по трубопроводу, а по формуле (14) - давление развиваемое насосной станцией.

 

Пример 2. В горизонтально расположенном трубопроводе круглого сечения, транспортирующем жидкость (нефть или нефтепродукт) происходит утечка в сечении, расположенном на расстоянии ξ от начала трубопровода. С помощью математической модели процесса движения сжимаемой жидкости по трубопроводу определить место утечки нефти.

Решение. Для анализа состояния данного трубопровода используем математическую модель стационарного режима работы трубопровода с учетом расхода на утечку:

(15)

где m_ξ - массовый расход на утечку за единицу времени.

Предположим, что места утечки ξ и массовый расход на нее m_ξ в трубопроводе не известны и подлежат определению. При этом давление и массовый расход жидкости в начальном и конечном сечениях трубопровода считаются заданными, т.е. для системы (15) имеем следующие граничные условия

Примем, что перекачиваемая жидкость вязкая и касательное напряжение на стенке трубопровода можно определить по формуле (4), а в качестве уравнения состояния жидкости используем уравнение (5).

Наличие дельта функции в системе (1) показывает, что из-за утечки в сечении ξ трубопровод разбивается на две зоны: от начала его до места утечки и от места утечки до конца. Тогда задачу (15)-(17) с учетом соотношений (4), (5) можно записать в виде:

для первой зоны, 0 < x < ξ:

для второй зоны, ξ < x < l:

где параметры потока - скорость движения жидкости, плотность и давление в первой зоне обозначены индексом «-», а во второй – индексом «+».

Связь между решениями задач (18), (19) и (20), (21) осуществляется с помощью соотношения

(22)

полученного при интегрировании второго уравнения системы (15). Данное соотношение означает разрыв массового расхода жидкости в сечении ξ, причем разность массовых расходов справа и слева в сечении x = ξ равна массовому расходу на утечку в трубопроводе. Предполагая неразрывность давления во всех сечениях трубопровода, включая x = ξ, приходим ко второму соотношению

(23)

Нетрудно видеть, что решениями задач (19), (21) соответственно будут

(24)

Учитывая (24) и решая задачи (18) относительно p−, а задачи (20) относительно p+, будем иметь

(25)

Подставив (24) в соотношение (22), находим массовый расход на утечку в трубопроводе

(26)

Для определения места утечки в трубопроводе используем соотношение (23). Подставляя в соотношение (23) выражения для p (x) − и p (x) + из уравнения (25), получим следующую формулу для определения места утечки в трубопроводе:

(27)

Таким образом, измерив давление и массовый расход жидкости в начальном и конечном сечениях трубопровода, с помощью формул (26) и (27) можно определить массовый расход на утечку и места утечки в трубопроводе, образующиеся при повреждении трубопровода.

 

Программный продукт Flow Vision (FV) предназначен для моде­лирования трехмерных физических полей гидрогазодинамики. Его теоретической основой является совокупность математических урав­нений (неразрывности, движения, энергии, состояния), позволяющая формировать расчетные модели согласно физической постановке за­дачи. К примеру, выбор модели «Несжимаемая жидкость» означает набор следующих уравнений: уравнения неразрывности и уравнений движения Навье – Стокса. В случае сжимаемой жидкости указанные выше уравнения будут дополнены уравнением состояния. Выбранная модель является общей для рассматриваемого класса физических яв­лений. В процессе решения конкретной задачи введением граничных и начальных условий на ее основе реализуется частная модель, кото­рая отражает признаки, присущие только этой модели. Выбранная расчетная модель решается численными методами. В программе пре­дусмотрена возможность создания в расчетной области течения адап­тивной прямоугольной сетки и организации вычислительного про­цесса методом итераций (последовательных приближений) с исполь­зованием явного и неявного методов расчета. Результатом вычисле­ний, выполняемых расчетным модулем компьютера без участия поль­зователя, являются физические поля искомых величин (для модели несжимаемая жидкость – поля скоростей и давлений). Возможна ви­зуализация полей и отдельных (интегральных) характеристик мето­дами компьютерной графики.

 

Пример решения задач

Пример 1. Постановка задачи:

Исследовать течение воздуха в трубопроводе.

Дано: v₁=3 м/с, v₂= 1.4 м/с, v₃=2 м/с Р₁=Р₂ =Р_атм.

На рисунке 1 показана общая схема трубопровода

Рисунок 1. Общая схема трубопровода.

Последовательность действий: Расчет элемента трубопровода при помощи Flow Simulation в пакете SolidWorks

Построение модели

Создаем новый документ -> Выбираем плоскость «Справа». Нажимаем кнопку «Эскиз» и при помощи линий рисуем необходимую нам геометрию модели (рисунок 2).

После завершения эскиза применяем его (зеленая галочка). Затем выбираем на панели пункт «Вытянутая бобышка/основание». Задаем ширину 20.00мм, так же указываем что наш элемент тонкостенный. Ставим галочку «Торцевая пробка» и в обоих полях указываем размеры 1.00мм (рисунок 3).

Теперь нам необходимо скруглить края, чтобы наша модель приняла форму труб. Выбираем пункт «Скругление». Выставляем радиус 10.00мм и применяем его ко всем видимым кромкам, кроме торцевых входных/выходных отверстий (рисунки 4 - 11).

Рисунок 2. Рисуем необходимую геометрию модели.

Рисунок 3. Выбор параметров оболочки.

Рисунок 4. Скругление краев оболочки.

Рисунок 5. Скругление внутренней стенки краев оболочки.

Рисунок 6. Скругление наружной стенки краев оболочки.

Рисунок 7. Скругление наружной стенки краев оболочки для другой стороны модели.

Рисунок 8. Сечение полученного трубопровода.

Рисунок 9. Фронтальный вид полученного трубопровода.

Рисунок 10. Готовая модель трубопровода.

Рисунок 11. Окончательная модель трубопровода.

Создание проекта Flow Simulation

Выбираем вкладку Flow Simulation, а на ней пункт «Wizard». Даем название проекта и сохраняем его (рисунки 12,13)

Рисунок 12. Даем проекту название.

Рисунок 13. Сохраняем проект.

Задаются: Единицы измерения и параметры обтекания (рисунок 14), параметры газа - воздух и наличие теплообмена (рисунок 15), точность разбиения и начальные условия (рисунок 16).

Рисунок 14. Единицы измерения и параметры обтекания

Рисунок 15. Выбор параметров газа - воздух и наличие теплообмена

Рисунок 16. Задаем точность разбиения и начальные условия

Уберем параллелепипед вокруг модели: Computational Domain -> Задаем граничные условия. Boundary Condition -> Insert… (Рисунок 17)Сначала укажем выходные отверстия (Enviroment Pressure). Выбираем нужные грани. (Рисунок 18) Важно выбирать именно грани, находящиеся внутри модели, а не снаружи. Поэтому жмем правой кнопкой -> Выбрать другой

Рисунок 17. Выбор выходных отверстий.

Рисунок 18. Выбор входных отверстий

Затем добавим в граничные условия входную скорость. Outlet Velocity. Для задней грани значение 5 м/с. Для нижней грани скорость зададим по трем координатам (рисунок 19), Vx = 1 m/s, Vy = 0 m/s, Vz = -1 m/s (рисунок 20).

Рисунок 19. Добавим в граничные условия входную скорость

Рисунок 20. Для нижней грани скорость задается по трем координатам.

После чего запускаем проект в расчет. (Run) (рисунок 21)

Рисунок 21. Запуск расчета.

Решение завершено.

Отображение результатов решения

Для начала сделаем нашу модель прозрачной Верхнее меню -> Flow Simulation -> Display -> Transperancy… Зададим значение 0,5 (рисунок 22).

Рисунок 22. Задание прозрачности трубопровода

Отобразим траектории потока. Flow Trajectories -> Insert… (рисунок 23). трубопровод воздуховод тяговой электродвигатель

Рисунок 23.Отображение траектории потока.

В результате чего получим наглядные траектории движения газа по трубопроводу (рисунок 24) для граничных условий, представленных на рисунке 20.

Рисунок 24. Результат расчета движения воздуха внутри трубопровода

Пример 2. С использованием программного продукта Flow Vision проводится моделирование ламинарного течения вязкой несжи­маемой жидкости в цилиндрическом трубопроводе. Установить рас­пределение скоростей по живому сечения потока.

Решение. Сначала во внешней программе (Solid Works или Компас) создается 3-х мерная геометрическая модель области течения (твердотельная модель). Размеры модели: длина 600 мм, диаметр 20 мм. После сохранения в формате STL она импортируется и программу FV.

Выбирается расчетная (математическая) модель – несжимаемая жидкость. Этой модели соответствует система уравнений движения Навье – Стокса и уравнения неразрывности, Определяемые величи­ны: скорость, давление.

В базы данных вводится вещество – чистая вода, ее физические параметры: плотность 1000 кг/м³, динамическая вязкость 0,001 Па•с.

Задаются граничные условия: на входе в трубопровод – нормаль­ная скорость, численное значение которой (0,0125 м/с) обеспечивает ламинарный режим течения (Re = 250); на стенке – равенство нулю составляющих скорости; на выходе – нулевое давление.

Создается расчетная сетка путем равномерного разбиения об­ласти течения прямоугольными ячейками по координатам X, У, Z: по направлению X (вдоль потока): 40 ячеек, по направлениям У и Z – по 19 ячеек (суммарное число ячеек 14440).

Вводятся параметры численного расчета, и выполняется расчет­ным модулем компьютера моделирование течения жидкости. Для рас­чета используется неявный метод с установкой значения максимального шага по времени в пределах 1...3. За ходом вычислений осуще­ствляется контроль и при достижении установившегося вычисли­тельного процесса расчет завершается.

Для представления результатов моделирования в наглядной форме создаются новые геометрические объекты (плоскость, линии) и слои визуализации: на плоскости в поле течения – вектора и заливка; на линиях, перпендикулярных к направлению течения, – двухмерный график продольной скорости (Х – скорости).

На рисунке 1 показано полученное в результате моделирования распределение скоростей в сечениях, расположенных на расстояниях от входа трубопровода, равных 0,05; 0,2 и 0,5 м.

При заданном на входе в трубу равномерном профиле скоростей (υ = 0,0125 м/с) наблюдается изменение структуры потока, характеризующееся торможением пристенных слоев жидкости (здесь за счет большого градиента скорости существенно влияние вязкого трения) с одновременным увеличением скорости в центральной части потока. Толщина заторможенных слоев жидкости вдоль потока возрастает, достигая размера радиуса трубы при полностью сформированном (характерном для ламинарного течения) параболическом профиле скоростей.

Рисунок 1 Формирование профиля скоростей по длинетрубопровода

Представленные на рисунке эпюры скоростей характеризуются разным отношением средней в сечении скорости к максимальной скорости (на оси трубы) υ / u _max. При параболическом законе распре­деления скоростей согласно теории отношение υ/и _max = 0,5, по ре­зультатам моделирования на участке стабилизированного движения υ/и _max = 0,517. Расхождение с теорией составляет около 3%.

Длина начального участка (с неравномерным движением, когда непрерывно перестраивается распределение скоростей) согласно формуле Буссинеска l _нач=0,065Rе d =0,065•250 d=16,254 по результатам моделирования l _нач = 22,5 d.