Уравнения собственных частот трех- и четырехмассовых динамических моделей

Для нахождения собственных частот W_i нужно в каком-либо виде записать частотное уравнение R(w) как функцию инерционных и упругих параметров модели. Корни этого уравнения являются собственными частотами колебаний. Собственные частоты нумеруют в порядке возрастания, начиная с W₁.

График изменения R(w) показан рис 17. Точки пересечения R(w) с осью абсцисс соответствуют собственным частотам. Критерием нахождения собственной частоты в интервале w_i... w_i+1 является знак произведения

z = R(w_i)×R(w_i+1) £0,

который должен быть отрицательным или равным нулю.

Используя линейную интерполяцию, находим j-ю собственную частоту модели:

, где h – шаг расчета.

Рис. 17. График изменения частотной функции R(v).

Число собственных частот, отличных от нуля, равно числу упругих звеньев модели. Таким образом, для нахождения собственных частот сначала надо записать частотное уравнение и, увеличивая w от w_min (обычно w_min = 0), найти нужное количество пересечений функции R(w) с частотной осью w.

Для записи частотного уравнения используют разные методы.

В общем виде для рассчитываемой консервативной модели составляются уравнения движения, которые затем записываются в преобразованиях Лапласа. Полученную систему алгебраических уравнений записывают в систематизированном виде и составляют характеристический определитель. Затем его преобразовывают в частотный определитель R(w) заменой оператора s на jw (или s² на –w²). Таким образом, получают частотное уравнение в виде определителя. Например, для модели с четырьмя парциальными системами:

,

где R_i = l_i - w_i, i = 1,4 - частотные уравнения парциальных систем;

l_i- квадраты собственных частот парциальных систем;

r_i,i+1 - коэффициенты связи одной парциальной системы с другой.

Описанный выше метод нахождения частотного уравнения известен в литературе как матричный метод.

Частотное уравнение динамической модели достаточно просто записывается с помощью последовательного расщепления на отдельные части (подсистемы). Такой метод известен как метод последовательного расщепления. Он является логическим развитием матричного метода.

Система сначала делится на две подсистемы с повторением какой-нибудь массы J_к. Аналогичным методом выполняется дальнейшее расщепление системы. Если расщепление выполняется на массе, которая связана с несколькими упругими звеньями, то необходимо учитывать все возможные пути прохождения сигналов из одной подсистемы в другую.

Начало формы

В качестве примера на рис. 19 приведены частотные уравнения динамических моделей.

После несложных преобразований частотное уравнение можно записать в виде алгебраического полинома:

где x = w² ; n - количество упругих звеньев.

В соответствии с формулами Виета, устанавливающими связь между коэффициентами уравнения и его корнями

В качестве примера на рисунке приведены частотные уравнения пятимассовой динамической модели.