Рассмотрим зависимость натяжения замыкающей оболочки от уровня напряжения рабочей среды (третье положение).
Например, наложение конфигураций линий уровня пары взаимодействующих частиц (точечных зарядов) представляет суммарную линию, имеющую форму сплюснутого или вытянутого овала с соотношением размеров полуосей симметрии соответственно больше или меньше единицы. Для определения зависимости натяжения деформированной мягкой оболочки от напряжения рабочей среды рассмотрим усилия, при действии которых два мыльных пузыря, прижатые друг к другу, находятся в равновесии.
Если сдвоенные пузыри свободно висят в воздухе, сохраняя сферическую форму, то в этом случае сближение центров сфер, равное (2m), мало по отношению к первоначальному межцентровому расстоянию, равному (2R), площадь контактного пятна эквивалентна радиусу сферы / 2 /.
Определим силу, с которой притягиваются прикоснувшиеся два мыльных пузыря:
F = - DUn / m = 4 p R m T @ 2x2T. (17)
Установлено, что сила притяжения прикоснувшихся пузырей пропорциональна их радиусу и первоначальному межцентровому расстоянию (2R), то есть площади пятна контакта (x2), где (x2 @2R m). Формообразование мягких оболочек с помощью моделей мыльных пузырей показано на рис.20 /19/. Следует отметить, что при слиянии пузырей образуется мембрана, а слившиеся пузыри теряют сферическую форму и замыкающая оболочка приобретает форму вытянутого овалоида (рис.20,б). Такую форму принимает также цилиндрическая оболочка с соотношением размеров длины к диаметру (1< a/b < SQR(2)).
В соответствии с принятым ранее условием любая полость замкнутой оболочки может быть представлена пузырьковой моделью, то есть блоком соприкасающихся упругих сфер, диаметр которых равен высоте (диаметру) замыкающей оболочки. Для этого впишем пару взаимодействующих упругих сфер в мягкую оболочку с заданным соотношением размеров, затем станем надувать их избыточным давлением газа. Повышение давления в сферах приведет к увеличению межцентрового расстояния, уменьшению диаметра и площади мембраны, перераспределению натяжений пропорционально радиусам кривизны. При увеличении соотношения размеров замыкающей оболочки в пределах (SQR(2) < a/b < 2) произойдет взаимное отталкивание упругих сфер, пропорциональное площади мембраны и уровню давления в них. При этом кривизна замыкающей оболочки между вписанными сферами обратится в нулевую, а в торцах станет равной радиусу вписанных сфер.
Кольцевые и окружные (меридиональные) натяжения будут иметь различную природу: кольцевые образуются при взаимодействии оболочки с упругой сферой (со сжатой средой), а окружные – за счет распора двух вписанных упругих сфер. Следовательно, окружные усилия не зависят от количества вписанных сфер.
Для определения зависимости натяжения деформированной мягкой оболочки от напряжения рабочей среды рассмотрим усилия, при действии которых два мыльных пузыря, прижатые друг к другу, находятся в равновесии. Если сдвоенные пузыри свободно висят в воздухе, сохраняя сферическую форму, то в этом случае сближение центров сфер, равное (2m), мало по отношению к первоначальному межцентровому расстоянию, равному (2R), площадь контактного пятна эквивалентна радиусу сферы / 2 /.
Рис. 20. Формообразование мягких оболочек с помощью моделей мыльных пузырей.
(а – сфера, б – цилиндр, в,г – сплюснутый овалоид, д – тор, е – схема складкообразования с помощью уравнения гипоциклоиды)
Условием разрыва среды (полного отрыва сфер) является следующее соотношение размеров длины к диаметру (a/b = 2), что совпадает с условием складкообразования / 3 / и одноосности нагружения мягкой оболочки. Следует отметить, что мягкие оболочки с соотношением размеров (a/b ≤ 2) относятся к бесскладчатым оболочкам. Если соотношение размеров находится за пределами условия бесскладчатости, то их геометрическая форма –складчатая, что затрудняет их расчет из-за отсутствия определенной начальной формы. Так, напряженное состояние сжатого овалоида (тороида) с соотношением размеров за пределами условия бесскладчатости требует приведения к простым формам и может быть определено с помощью пузырьковой модели.
Представим поверхность сплюснутого овалоида в виде замыкающей, в которую вписаны упругие сферы (см. рис. 20,в). По аналогии со сдвоенными пузырями устойчивое формобразование «строенных» пузырей возможно при соотношении размеров высоты и диаметра, равном (a/b ≤ SQR(2)). При этом условием разрыва среды, очевидно, будет соотношение размеров (a/b = 3). Установлено /15/, что это условие является уравнением гипоциклоиды и может быть использовано для определения модели составных форм, а также условия складкообразования. При этом параметры (Rн) и (rн) являются радиусами направляющего и производящего кругов соответственно (Рис. 21).
Количество складок в зависимости от соотношения размеров деформированной мягкой оболочки определяется уравнением гипоциклоиды:
a = b Rн / rн = m b. (18)
На рис. (17,б – д) показаны схемы формообразования мягких оболочек составных форм с помощью модельных пузырей, сопряженных по принципу плотной упаковки.
Так как в соответствии с законом аддитивности /18/ объем тела равен сумме объемов его структурных элементов, то любой объем мягкой оболочки можно представить в виде суммы объемов составляющих упругих сфер пузырьковой модели. Составные оболочки по количеству сопряженных пузырьковых элементов можно разделить на сдвоенные, состоящие из трех, четырех, а также множества (блока) пузырей, взаимодействующих по плоскости (мембране) или в точке. Плоскости, ограниченные замкнутой кривой, плотно и во все стороны могут быть заполнены лишь теми правильными многоугольниками, у которых углы кратны, а сумма углов в точках стыка равна 360°, то есть шести-, треугольниками и квадратом.
Таким образом, объем замыкающего мягкой оболочкой всего многообразия форм, в том числе и деформированных, можно моделировать с помощью пузырьковой модели, которая является геометрической моделью мягких оболочек.