Интерференция световых волн




ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

5.2.1. Принцип Гюйгенса

С точки зрения геометрической оптики при падении света на преграду с отверстиями свет не может попадать в область геометрической тени. В действительности же световая волна распространяется в пространстве за преградой, т.е. в области геометрической тени, и это проникновение тем существеннее, чем меньше размер преграды. Если размеры преграды (щели, отверстия) сравнимы с длиной волны, законы геометрической оптики нарушаются.

Качественно поведение света за преградой с отверстием объясняет принцип Гюйгенса, который позволяет построить фронт волны в момент времени по известному положению фронта в момент времени t: каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн (рис.5.2.1), огибающая этих волн дает положение фронта в следующий момент времени.

Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (рис. 5.2.2). По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в изотропной и однородной среде будут сферическими. Построив огибающую, видим, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая края преграды.

 

Интерференция световых волн

Рассмотрим две волны одинаковой частоты, которые, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления

Амплитуда результирующего колебания в данной точке где .

Если разность фаз возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени, волны называются когерентными. В случае некогерентных волн непрерывно меняется, принимая с равной вероятностью любые значения, поэтому среднее за период значения равно нулю и

-

интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой волной в отдельности:

В случае когерентных волн имеет постоянное во времени, но свое для каждой точки пространства, значение, и

.

В точках пространства, где , в точках, где . Таким образом, при наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией волн. Если интенсивности обеих волн одинаковы, то в максимумах , а в минимумах . Для некогерентных волн в этом случае интенсивность равна .

Естественные источники не дают когерентного света. Это связано с тем, что излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Излучение производится цугами длиной до 3м, причем фаза одного цуга никак не связана с фазой следующего.

Когерентные волны можно получить, разделив волну, излучаемую одним источником, на две части (рис.5.2. 3). Если заставить эти волны пройти разные оптические пути, а потом наложить друг на друга, наблюдается интерференция. Разность оптических путей, проходимых волнами, не должна быть очень большой, чтобы складываемые колебания принадлежали одному цугу волн.

Пусть разделение волн происходит в точке Р. До точки Р первая волна проходит в среде с показателем преломления путь , вторая волна – в среде с показателем преломления путь . Если в тоске О фаза колебаний равна , то первая волна возбудит в точке Р колебание , а вторая волна – колебание , где , - фазовые скорости волн. Разность фаз возбуждаемых в точке Р колебаний, равна Заменив , где - длина волны в вакууме, имеем , где - оптическая разность хода.

Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме,

(т = 0,1,2….), (5.2.1)

то разность фаз будет кратна 2 π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в одной фазе, т.е. (5.2.1) – условие максимума интерференции.

Если равна полуцелому числу длин волн в вакууме,

(т = 0,1,2….), (5.2.2)

то , и колебания в точке Р будут в противофазе, т.е. (5.2.2) – условие минимума интерференции.

Рассмотрим две цилиндрические когерентные световые волны, исходящие из источников и , имеющих вид параллельных тонких светящихся нитей (рис.5.2. 4). Область, в которой эти волны перекрываются, называется полем интерференции. Во всей этой области наблюдается чередование максимумов и минимумов интерференции. Если в поле интерференции внести экран, на нем будет видна интерференционная картина, имеющая вид чередующихся темных и светлых полос. Вычислим ширину этих полос, если экран параллелен плоскости, проходящей через источники и . Положение точки на экране будем характеризовать координатой х, отсчитываемой в направлении, параллельном прямой , начало отсчета выберем в точке О, относительно которой и расположены симметрично. На рис.5.2.4

Тогда

Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками d должно быть значительно меньше расстояния до экрана . Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, также много меньше . Тогда , и . Умножив на показатель преломления среды п, получим оптическую разность хода

. (5.2.3)

Подставив (5.2.3) в (5.2.1) и (5.2.2), получаем координаты максимумов и минимумов на экране:

где - длина волны в среде. Расстояние между двумя соседними максимумами называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между двумя соседними минимумами – шириной интерференционной полосы. Эти расстояния имеют одинаковые значения

. (5.2.4)

Согласно (5.2.4), расстояние между полосами растет с уменьшением расстояния между источниками d. При d, сравнимом с , расстояние между полосами было бы того же порядка, что и . В этом случае отдельные полосы были бы совершенно неразличимы. Чтобы интерференционная картина была отчетливой, необходимо, чтобы .

Если интенсивность интерферирующих волн одинакова, , то результирующая интенсивность в точках с разностью фаз равна

.

Т.к. , то согласно (5.2.3), растет пропорционально х. Следовательно, интенсивность меняется вдоль экрана по закону квадрата косинуса.

Ширина интерференционных полос и расстояние между ними зависят от длины волны . Только в центре картины, при х =0, совпадают максимумы всех длин волн. По мере удаления от центра максимумы разных цветов смещаются друг относительно друга все больше и больше. Интерференционная картина смазывается.

 

Примеры решения задач

Задача 1.Во сколько раз увеличится расстояние между соседними интерференционными полосами на экране в опыте Юнга, если зеленый светофильтр (λ 1=500нм) заменить красным (λ2 =650нм)?

Задача 2. Расстояния от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана равны соответственно а =25см; b =100см. Бипризма стеклянная с преломляющим углом θ=20´. Найти длину волны света, если ширина интерференционной полосы на экране Δ х =0,55мм.

Задача 3. На тонкую пленку с показателем преломления п =1,33 падает параллельно пучок белого света. Угол падения θ1=52о. При какой толщине пленки зеркально отраженный свет будет наиболее ярко окрашен в желтый цвет (λ=0,60мкм)?

Задача 4. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R =8,6м, наблюдение ведется в отраженном свете. Радиус четвертого темного кольца (считая центральное темное кольцо за нулевое) r 4 =4,5мм. Найти длину волны падающего света.

 

ЗАДАЧА 3.Найти расстояние между полосами и число N полос интерференции, образованных бипризмой с показателем преломления n и преломляющим углом , если длина волны источника l. Расстояние от источника света до бипризмы а, а от бипризмы до экрана b.

ДАНО: n λ a b
N –?

АНАЛИЗ. Бипризма (рис. 5.2.7) представляет собой две призмы, изготовленные из одного куска стекла и имеющие одну общую грань. Преломляющий угол каждой призмы мал, поэтому все лучи отклоняются призмой на практически одинаковый угол

j = (n – 1) .

Рис. 5.2.7   Рис. 2.2.5

В результате образуются две когерентные цилиндрические волны, исходящие из мнимых источников S 1и S 2, лежащих в одной плоскости с S.

РЕШЕНИЕ. Расстояние между источниками равно

d = 2 a sin j» 2 a j = 2 a (n – 1) .

Расстояние от источников до экрана
= а + b.

Ширину интерференционной полосы находим из условия:

.

Область перекрытия волн РQ имеет протяженность (рис. 5.2.7)

х 0 = 2 b tgj » 2 b j = 2 b (n– 1) ,

а максимальное число наблюдаемых полос .

ОТВЕТ: , .

 

ЗАДАЧА 4. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления
n = 1,3падает нормально параллельный пучок белого света. При какой наименьшей толщине пленки она будет наиболее прозрачна для света с длиной волны l1 = 0,60 мкм (желтый свет)? При какой наименьшей толщине пленка наиболее прозрачна одновременно для света с длинами волн l1иl2 = 0,50 мкм (голубой свет)?

ДАНО: n = 1,3 l1 = 0,60 мкм l2 = 0,50 мкм СИ   = 0,6·10 м = 0,5·10 м
d 2 –?  

АНАЛИЗ. При попадании на пленку свет частично проходит, частично отражается от поверхности пленки. Наблюдение ведется в проходящем свете. В этом случае интерферируют две волны, одна из которых проходит через пленку без отражения, вторая – испытав отражение на обеих поверхностях пленки
(рис. 5.2.8).

Рис. 5.2.8

Для наглядности на рис. 5.2.8 угол падения лучей не равен нулю. Результат интерференции в точке В зависит от оптической разности хода, которая в случае нормального падения лучей равна D1,2 = 2 dn.

При отражении в точках В и С изменения фазы не происходит (если показатель преломления окружающей среды больше, чем показатель преломления пленки, то изменение фазы на pпроизойдет дважды и оптическая разность хода D1,2 = 2 dn + l).

РЕШЕНИЕ. Пленка наиболее прозрачна для света с заданной длиной волны, если разность хода кратна четному числу полуволн (условие максимума):

D1,2 =2 m l / 2, где m = 1, 2, 3….

Отсюда

(5.2.9)

– при такой толщине пленка будет наиболее интенсивно окрашена в желтый цвет. Очевидно, наименьшая толщина пленки соответствует m = 1, т. е. = 0,23 мкм.

Одновременное максимальное прохождение желтого и голубого света означает, что толщина пленки удовлетворяет и условию (5.2.9), и условию

, где k = 1,2… (5.2.10)

Приравняв правые части выражений (5.2.9) и (5.2.10), получаем:
l1 / l2 = k / m.

Это значит, что наибольшая прозрачность одновременно для двух заданных длин волн возможна, если отношение этих длин волн равно отношению двух целых чисел. По условию l1/l2 = 6/5 = 12/10= и т. д.,т. е. k = 6, m = 5 – минимально возможные значения. Наименьшая толщина пленки, соответствующая этим k и m, как следует из (5.2.9) и (5.2.10), равна

d 2 = 5 l1 / (2 n)= 6l2 / (2 n) = 1,15 мкм.

Таким образом, при толщине d 2 = 1,15 z мкм, где z – любое целое число, пленка наиболее прозрачна одновременно для длин волн l1иl2. При этом
d
2 > d 1.

ОТВЕТ: 0,23 мкм, d 2 = 1,15 мкм.

 

ЗАДАЧА 5.Плосковыпуклая стеклянная линза выпуклой поверхностью соприкасается со стеклянной пластинкой (рис. 2.2.11). Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R, длина волны светаl. Найти ширину D r кольца Ньютона в зависимости от его радиуса в области, где D r << r.

ДАНО: R; l; D r << r
D r –?

АНАЛИЗ. В формировании интерференционной картины участвуют пластинка, линза и тонкий воздушный клин между ними (рис. 5.2.9). В результате отражения волны от верхней и нижней граней воздушного клина происходит явление интерференции света и образуются кольца Ньютона. Необходимо определить ширину кольца, т. е. расстояние между серединами соседних темных и светлых колец.

РЕШЕНИЕ. Для расчета интерференционной картины определим оптическую разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней граней воздушного клина:

= 2 d + l/2,

где d – толщина воздушного клина, l/2обусловлено сдвигом по фазе на p при отражении света от поверхности пластины.

 

 

Рис. 5.2.9

Из подобия прямоугольных треугольников ЕОD и ЕDМ следует, что , где DО = ЕF =d, ½ ½ = rm и½ ½ = 2 R– ½ EF ½ = 2 R – d » 2 R,т. к. ½ ЕF ½ << R.

Таким образом, ½ EF ½ = rm 2 / 2 R, или d = rm 2 / 2 R.

Тогда

= rm 2 / R + l/2. (5.2.11)

Согласно условию минимума интерференции = (2 m– 1) l/2, тогда радиус m -го темного кольца Ньютона равен

Из условия максимума = m lc учетом выражения (5.2.11), получаем радиус m -го светлого кольца:

.

Из этих уравнений ( )2– ()2 = ( )( + ) = R l/2.

Полагая rmТ + rmС » 2 r, находим ширину кольца .

ОТВЕТ: .

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: