После опубликования результатов исследований Дарси обнаружилось, что в ряде случаев при фильтрации жидкостей наблюдаются отклонения от линейного закона фильтрации. Проверке и исследованию пределов применимости закона Дарси было посвящено значительное число работ. В результате этих исследований были установлены две основные причины отклонения от линейного закона фильтрации:
1) отклонения, связанные с проявлением инерционных сил при высоких скоростях фильтрации (верхняя граница применимости закона Дарси).
2) отклонения, связанные с проявлением неньютоновских реологических свойств жидкости при достаточно малых скоростях фильтрации (нижняя граница применимости закона Дарси).
Рассмотрим каждый из этих случаев:
1. Верхняя граница применимости закона Дарси.
Наиболее полно изучены отклонения от закона Дарси, вызванные проявлением инерционных сил при повышенных скоростях фильтрации.
Критерием справедливости закона Дарси служит число Рейнольдса
(1.18)
где u - скорость фильтрации жидкости;
r - плотность жидкости;
m - коэффициент абсолютной вязкости жидкости;
- характерный линейный размер пористой среды, который разные авторы определяют по-разному.
Если число Рейнольдса, определенное по формуле (1.18) не превосходит некоторого критического значения Rе кр, то закон Дарси сохраняется, т.е. линейная зависимость между расходом и потерей напора соблюдается. Целью всех экспериментов было установление этого критерия. Экспериментальные исследования были направлены на получение универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления l от числа Рейнольдса - Rе. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред установить такую универсальную зависимость не удается.
|
|
Первая количественная оценка верхней границы применимости закона Дарси была дана акад. Н.Н Павловским, который опираясь на экспериментальные результаты Слихтера и полагая характерный размер a=dэф, получил формулу для числа Rе
Rе = 
(1.19)
На основании этой формулы и данных экспериментов Н.Н.Павловский установил пределы значений Rе кр
7,5 < Rе кр < 9.
Профессор В.Н Щелкачев принял в качестве параметра
(1.20)
и обработав данные Н.Н.Павловского, получил 1 £ Rе кр £ 12
Академик М.Д. Миллионщиков принял в качестве параметра
(1.21)
получил пределы 0,022 £ Rе кр £ 0,29
Американские исследователи - экспериментаторы Фэнчер, Льюис и Бернс, обработав результаты своих экспериментов на 27 образцах сцементированных и несцементированных песчаников, установили пределы
1 < Rе кр < 4.
Вопросами применимости закона Дарси посвящены также работы Е.М.Минского, Ф.И.Котяхова, Г.Ф.Требина, А.И.Абдулвагабова, М.Маскета и др. исследователей.
Заметим, что нарушение закона Дарси еще не означает нарушение ламинарности течения. Опыты Линдквиста и других исследователей показывают, что нарушение ламинарности происходит при числах Rе значительно больших, чем Rе кр.
Причиной нарушения закона Дарси является проявление роли сил инерции, а причиной нарушения ламинарности является проявление турбулентного потока при достаточно больших скоростях движения. Поэтому нельзя считать областью турбулентности режима всю область значений параметра Rе > Rе.кр.
|
|
Всякий фильтрационный поток, в котором справедлив закон Дарси, есть поток ламинарный, но не всякий ламинарный поток подчиняется этому закону. При больших скоростях фильтрации закон Дарси нарушается вследствие влияния сил инерции, возникающих в жидкости в результате непрерывных, часто весьма резких, изменений направления и величины скорости ее движения; эти изменения обусловлены извилистостью поровых каналов в пространстве и непрерывным изменением их поперечного сечения. Пока скорости движения жидкости малы, эти инерционные силы ничтожны. Однако, начиная с некоторых значений скоростей, соответствующих критическим значениям чисел Рейнольдса, силы инерции достигают таких величин, при которых их действие оказывает существенное влияние на фильтрацию и приводит к нарушению линейного закона фильтрации Дарси.
Таким образом, ламинарность фильтрационного потока может сохраняться и после того, когда вследствие влияния сил инерции закон Дарси нарушается.
При нарушении закона Дарси зависимость между скоростью фильтрации V и градиентом давления dP/dS лучше всего описывается двучленной формулой (нелинейным законом)
= аV+bV2, (1.22)
которая отражает плавный переход от линейного закона фильтрации к нелинейному; численные значения постоянных коэффициентов а и b находятся обычно экспериментально. В частности для прямолинейно - параллельного фильтрационного потока выражение (1.22) записывается в виде
, (1.23)
где b - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально.
Первое слагаемое в правой части уравнений (1.22) и (1.23) учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе - инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью поровых каналов.
|
|
При значениях V ³ Vкр слагаемые аV и bV2 имеют один и тот же порядок; при достаточно больших скоростях фильтрации (аV << bV2) пренебрегаем первым слагаемым, в результате получаем так называемый закон А.А Краснопольского (квадратичный закон)
= bV2, (1.24)
который имеет место при фильтрации жидкости в крупнозернистых и трещиноватых коллекторах. Физически это означает, что инерционная составляющая фильтрационного сопротивления является преобладающей над составляющей вязкостного сопротивления.
Работами Е.М.Минского и других исследователей показано, что двухчленный закон фильтрации (1.22), (1.23) является физически наиболее обоснованным и осуществляется при всех числах Рейнельдса, встречающихся в практике разработки нефтегазовых месторождений.
Следует отметить также, что при исследованиях фильтрационных потоков в условиях нарушения закона Дарси используется нелинейный закон в виде одночленной степенной формулы
, (1.25)
где С и n - некоторые постоянные, определяемые опытным путем; причем 1<n£2.
При n = 2 формула (1.25) переходит в формулу Краснопольского (1.24).