Доказательство применимости теории упругости к грунтам (постулаты теории упругости)
При определении напряжений в массиве грунта используются законы механики для упругого сплошного тела.
Удовлетворяют ли грунты данным требованиям?
При ответе на данный вопрос рассмотрим основные постулаты теории упругости.
Деформации пропорциональны напряжениям.
При статическом нагружении, вдавливании штампа в грунт получим следующую схему деформирования:
Схема вдавливания штампа в грунт при статическом нагружении.
Теория упругости рассматривает тела упругие.
Схема нагрузки и разгрузки грунта. Проявление упругих и остаточных свойств.
В грунтах наблюдаются большие остаточные деформации Sост. Но для строителей существенно одноразовое загружение основания, т.е. здесь условие упругости является применимым (однако в общем случае это утверждение является допущением).
Теория упругости рассматривает тела сплошные.
Схема структуры грунта при передаче на него давления от внешнего воздействия.
В расчётах допускается использовать σср. - среднюю величину напряжений, действующих по определённой площадке.
В этом случае можно говорить о «сплошности» грунтов.
Теория упругости рассматривает тела изотропные.
Будем считать с известными допущениями, что грунт является изотропным телом.
Следовательно, в расчётах механики грунтов, с учетом отмеченных допущений, можно использовать теорию упругости.
Определение напряжений в массиве грунта от сосредоточенной силы. Задача Буссинеску 1885 г.
Составим расчётную схему данной задачи, представив грунтовое основание, как упругое полупространство.
Графическое представление условий (расчётная схема) задачи для определения напряжений в массиве грунта от сосредоточенной силы.
По условиям задачи необходимо определить значения вертикальных напряжений σ z и касательных напряжений τ zx; τ zy в точке М, расположенной на площадке, параллельной плоскости, ограничивающей массив от действия сосредоточенной силы Р.
Решим эту задачу в три этапа:
1. Определим σR – в радиальном направлении перпендикулярно R (в т. М)
2. Определим σR' – в радиальном направлении (приложенном к площадке, параллельной плоскости ограничивающей массив).
3. Определим σz;τzx;τzy.
1 этап решения задачи:
Допустим, что под действием силы Р точка М переместилась в точку М1. Обозначим S – перемещение точки М. Тогда можно записать:
Мы получили перемещение точки М (см. выше приведённый рисунок).
В представленной зависимости осадка точки будет прямо пропорционально завесить от косинуса угла β и обратно пропорционально радиусу расположения точки, где А – коэффициент пропорциональности.
Определим относительное перемещение точки:
Согласно первому постулату теории упругости между напряжениями и деформациями должна быть прямая зависимость, следовательно:
Радиальное напряжение в точке М.
В этой формуле В – коэффициент пропорциональности. Для определения σR необходимо определить произведение коэффициентов АВ.
σR – определяется по методу, используемому в сопромате («метод сечений»: мысленно разрезают балку, одну часть отбрасывают и оставшуюся часть уравновешивают).
Расчётная схема для определения радиальных напряжений в грунте.
Для решения данной задачи поступим аналогичным образом. Рассматрим полушаровое сечение радиусом R и заменим отброшенное пространство напряжениями σR. Рассмотрим изменение β в пределах dβ. Составим уравнение равновесия на ось Z:
Величина радиального напряжения в грунте зависит от координат точки и величины прикладываемой силы.
2 этап решения задачи:
Схема пересчёта радиальных напряжений к вертикальным.
Из геометрических соотношений можно записать:
Мы получили величину радиальных напряжений, приложенных к площадке параллельно плоскости, ограничивающей массив.
3 этап решения задачи:
, подставим и получим
Введём обозначение:
Упрощая выше полученное выражение, вводим значение коэффициента К. Тогда получим:
Результат окончательного решения нашей задачи.
– определяется по таблице.
Определение напряжений sz в массиве грунта от действия нескольких сосредоточенных сил (принцип Сен-Венана – принцип независимости действия сил)
Пусть к поверхности грунта приложены несколько сосредоточенных сил разной интенсивности.
Расчётная схема для определения напряжений в точке М от действия нескольких сосредоточенных сил.
Используя принцип независимости действия сил, легко определить напряжения в любой точке М, расположенной на любой глубине.
Определение напряжений sz в массиве грунта от действия нескольких сосредоточенных сил (принцип независимости действия сил Сен-Венана)
Пусть к поверхности грунта приложены несколько сосредоточенных сил разной интенсивности.
Расчётная схема для определения напряжений в точке М от действия нескольких сосредоточенных сил.
Используя принцип независимости действия сил, легко определить напряжения в любой точке М, расположенной на любой глубине.