Q — критерий Розенбаума
Назначение критерия
Критерий используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, который можем измерять количественно. В каждой выборке должно быть не менее 11 испытуемых.
Описание критерия
Это очень простой непараметрический критерий, который позволяет быстро оценить различия между 2мя выборками по какому-либо признаку. И если Q-критерий не выявляет достоверных различий, это еще не означает, что их действительно нет. В этом случае стоит применить критерий φ* Фишера.
Если же Q-критерий выявляет достоверные различия между выборками с уровнем значимости р≤ 0,01, можно ограничиться только ом и избежать трудностей применения других критериев.
Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены по крайней мере в порядковой шкале. Признак должен варьировать в каком-то диапазоне значений, иначе сопоставления с помощью Q-критерия просто невозможны.
Если будет только 3 значения признака 1,2,3 — очень трудно будет установить различия. Метод Розенбаума требует достаточно тонко измеренных признаков.
Начинаем с того, что упорядочиваем значения признака в обеих выборках по нарастанию (или убыванию). Сравниваем диапазоны измерений двух упорядоченных выборок.
Если он различны, то устанавливаем на сколько один ряд значений «выше» (значение = S1), а второй ниже (значение = S2).
Условимся, что первой выборкой будем считать ту, где значения выше, а 2ой выборкой — где значения ниже.
Выдвигаем гипотезы.
Н0 (нет различий): уровень признака в выборке 1 не превышает уровня признака в выборке 2.
Н1 (есть различия): уровень признака в выборке 1 превышает уровня признака в выборке 2.
Возможны 3 варианта развития сюжета:
1. Все значения 1ой выборки выше всех значений 2ой.
В этой ситуации наглядно видно, что различия достоверны при собдюдении условия, что n1 и n2 ≥ 11.
2. Значения признака в обоих выборках неходятся на одном уровне. Различий нет. Различия недостоверны.
3. Значения признаков выборок частично пересекаются. Оценим на сколько значения признака 1ой выборки выше. S1=? И на сколько значения признака 1ой выборки ниже S2 =? Нужно оценить насколько велика суммарная разница S1+ S2= Qэмп.
Критическое значение Q0,05 и Q0,01 определяются по таблице «Критические значения Q Розенбаума для уровней статистической значимости р≤ 0,05 и р≤ 0,01»
Для облегчения принятия решения вспомним ′′ось значимости′′, которая размещена в лекции на стр.10
Зона
З она неопределенности Зона
незначимости Q 0,05 Qэмп. Q0,01 значимости
▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒! ████████████! ██████! ░░░░░░░░░░░
▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒! ████████████! ██████! ░░░░░░░░░░░░░
6 8 9
Нам нужно будет выставить на этой оси значения Q0,05 и Q0,01, полученные из таблицы, и рассчитанное значение S1+ S2= Qэмп. И мы получим ответ о достоверности выдвинутых гипотез.
Ограничения критерия Q
1. В каждой из сопоставляемых выборок должно быть не менее 11 наблюдений. Условие: объемы выборок должны примерно совпадать.
При этом существуют следующие правила:
ñ если в обеих выборках меньше 50 наблюдений, то абсолютная величина разности между п1 и п2 не должна быть больше 10 наблюдений;
ñ если в каждой из выборок больше 51 наблюдения, но меньше 100, то абсолютная величина разности между пл и n2не должна быть больше 20 наблюдений;
ñ если в каждой из выборок больше 100 наблюдений, то допускается, чтобы одна из выборок была больше другой не более чем в 1,5—2 раза [Гублер Е.В., 1978, с.75].
2. Диапазоны разброса значений в двух выборках должны не совпадать между собой, в противном случае применение критерия бессмысленно. Между тем возможны случаи, когда диапазоны разброса значений совпадают, но вследствие разносторонней асимметрии двух распределений различия в средних величинах признаков существенны.
Критические значения критерия Q Розенбаума для уровней статистической значимости р <=0,05 и р <=0,01 (по Гублеру Е.В., Генкину А.А., 1973)
Различия между двумя выборками можно считать достоверными (р <=0,05), если Qэмправен или выше критического значения Q0,05,и тем более достоверными (р <=0,01), если Qэмправен или выше критического значения Q0,01.
Таблица 1
| n | ||||||||||||||||
| p=0,05 | ||||||||||||||||
| n | ||||||||||||||||
| p=0,01 | ||||||||||||||||
Практическая часть
АЛГОРИТМ. Подсчет критерия Q Розенбаума
1. Проверить, выполняются ли ограничения: n1,n2>=11, n1 = n2.
2. Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания признака. Считать выборкой 1 ту выборку, значения в которой предположительно выше, а выборкой 2 - ту, где значения предположительно ниже.
3. Определить самое высокое (максимальное) значение в выборке 2.
4. Подсчитать количество значений в выборке 1, которые выше максимального значения в выборке 2. Обозначить полученную величину как S1.
5. Определить самое низкое (минимальное) значение в выборке 1.
6. Подсчитать количество значений в выборке 2, которые ниже минимального значения выборки 1. Обозначить полученную величину как S2.
7. Подсчитать эмпирическое значение Q эмп. по формуле: Q эмп. =S1+S2
8. По Табл. 1. определить критические значения Q для данных n1и n2. Если Qэмп.равно Q0,05или превышает его, H0отвергается.
9. При n1,n2>26 сопоставить полученное эмпирическое значение с QKp=8 (р <=0,05) и QKp=10(р <=0,01). Если Qэмп.превышает или по крайней мере равняется Qkp=8, H0отвергается.
ЗАДАЧА 1.
У группы студентов был определен уровень эмпатии с помощью модифицированного опросника А.Меграбяна и Н.Эпштейна. Было опрошено 20 девушек и 16 юношей в возрасте от 20 до 23 лет. [3] Результаты приведены в таблице 2.
Таблица 2
| Девушки | Юноши | ||||
| № пп | Ф.И.О. | Общий бал по свойству эмпатии | № пп | Ф.И.О. | Общий бал по свойству эмпатии |
| А.Е.В. А.С.К. В.Е.К. Г.А.Ф. Е.К.В. Е.А.А. З.Н.С. К.О.Р. К.О.Н. К.И.А. Л.Л.С. Н.О.М. Н.Ж.А. П.В.Л. С.О.П. С.Н.С. Т.И.И. У.А.К. Я.Е.Л. Я.В.В. | Б.Б.А. В.Г.А. Д.А.А. Е.А.В. Ж.Е.Н. И.С.В. К.К.А. Л.Е.П. Л.А.С. М.С.С. М.А.Д. О.М.С. П.А.В. С.В.В. Т.Г.И. Т.И.В. |
Сформулируем гипотезы:
Н0: Девушки не превосходят парней по уровню эмпатии.
Н1: Девушки превосходят парней по уровню эмпатии.
Упорядочим по убыванию общего бала свойства эмпатии (см. таблицу 3).
Таблица 3
| Девушки | Юноши |
| 1. Е.А.А. – 91 2. К.О.Н. – 89 3. Н.Ж.А. – 89 4. С.О.П. – 86 5. С.Н.С. – 83 6. Т.И.И. – 82 7. Я.В.В. – 82 8. А.Е.В. – 81 | S1 |
| 9. З.Н.С. – 80 10. А.С.К. – 78 11. П.В.Л. – 78 12. У.А.К. – 78 13. Н.О.М. – 77 14. В.Е.К. – 75 15. К.О.Р. – 74 16. Я.Е.Л. – 72 17. Л.Л.С. – 70 18. Г.А.Ф. – 69 19. Е.К.В. – 67 20. К.И.А. – 65 | 1. Б.Б.А. – 80 2. Ж.Е.Н. – 77 3. Л.А.С. – 77 4. О.М.С. – 74 5. П.А.В. – 73 6. С.В.В. – 72 7. В.Г.А. – 70 8. Т.И.В. – 70 9. И.С.В. – 68 10. Е.А.В. – 66 |
| S2 | 11. Д.А.А. – 64 12. Т.Г.И. – 64 13. Л.Е.П. – 62 14. К.К.А. – 61 15. М.С.С. – 59 16. М.А.Д. – 55 |
По таблице 3 определяем количество значений первого ряда, которые больше максимального значения второго ряда: S1=8.
Теперь определяем количество значений второго ряда, которые меньше минимального значения первого ряда: S2=6.
Вычисляем Qэмп:
Qэмп= 8+6= 14
По таблице 1 определяем критическое значение Q для n1=20, n2=16;
QKp= 7 (р <=0,05) 9 (р <=0,01)
Ясно, что чем больше расхождения между выборками, тем больше величина Qкр.
Н0 отклоняется при Qэмп.>= QKp, а при Qэмп.< QKp мы будем вынуждены принять Н0.
Построим ось значимости:
Зона Зона
З она неопределенности значимости
незначимости Q 0,05 Q0,01. Qэмп
▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒! ███████████! ░░░░░░░░░░░░! ░░░░░░░
▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒! ███████████! ░░░░░░░░░░░░! ░░░░░░░░
7 9 14
Qэмп.>= QKp, (р <=0,01)
Ответ: Н0 отклоняется. Принимается Н1: Девушки превосходят парней по уровню эмпатии (р <0,01).
ЗАДАЧА 2
В таблице 4 приведены результаты исследования тревожности по опроснику Спилбергера. В тестирование принимали участие те же респонденты, что и в предыдущем примере.
Таблица 4
| Девушки | Юноши | ||||
| № пп | Ф.И.О. | Оценки тревожности | № пп | Ф.И.О. | Оценки тревожности |
| А.Е.В. А.С.К. В.Е.К. Г.А.Ф. Е.К.В. Е.А.А. З.Н.С. К.О.Р. К.О.Н. К.И.А. Л.Л.С. Н.О.М. Н.Ж.А. П.В.Л. С.О.П. С.Н.С. Т.И.И. У.А.К. Я.Е.Л. Я.В.В. | Б.Б.А. В.Г.А. Д.А.А. Е.А.В. Ж.Е.Н. И.С.В. К.К.А. Л.Е.П. Л.А.С. М.С.С. М.А.Д. О.М.С. П.А.В. С.В.В. Т.Г.И. Т.И.В. |
Аналогично предыдущему заданию, упорядочим результаты:
Таблица 5
| Девушки | Юноши |
| 1. З.Н.С. – 46 2. П.В.Л. – 46 | S1 |
| 3. С.О.П. – 44 4. Т.И.И. – 43 5. Я.В.В. – 41 6. В.Е.К. – 40 7. А.Е.В. – 37 8. Г.А.Ф. – 37 9. А.С.К. – 34 10. К.О.Р. – 34 11. К.О.Н. – 34 12. С.Н.С. – 33 13. Е.К.В. – 32 14. К.И.А. – 30 15. У.А.К. – 30 16. Е.А.А. – 28 17. Н.Ж.А. – 27 18. Л.Л.С. – 26 19. Н.О.М. – 26 20. Я.Е.Л. – 26 | 1. Е.А.В. – 44 2. Б.Б.А. – 41 3. И.С.В. – 39 4. Л.А.С. – 37 5. М.С.С. – 37 6. П.А.В. – 35 7. Т.Г.И. – 34 8. В.Г.А. – 32 9. С.В.В. – 32 10. Ж.Е.Н. – 30 11. Т.И.В. – 29 12. О.М.С. – 26 |
| S2 | 13. Д.А.А. – 25 14. Л.Е.П. – 25 15. К.К.А. – 22 16. М.А.Д. – 22 |
Сформулируем гипотезы:
Н0: уровень тревожности девушек не превышает уровень тревожности парней.
Н1: уровень тревожности девушек превышает уровень тревожности парней.
S1=2, S2=4. Qэмп= 2+4= 6
По таблице 1 определяем критическое значение Q для n1=20, n2=16;
QKp= 7 (р <=0,05) 9 (р <=0,01)
Расположим полученные значения Q на оси значимости Qэмп=6 Q0,05=7 Q0,01=9
Qэмп< QKp, (р > 0,05)
Ответ: Н0 принимается: уровень тревожности девушек не превышает уровень тревожности парней.