Второй замечательный предел

32.

Определение.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают.

Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

— неубывающая

Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

— невозрастающая

Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

— возрастающая

Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

— убывающая

Определение сходимости.

Критерий сходимости монотонной последовательности: монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена.

Свойства.

Ограниченность.

Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон. (Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)

Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.
Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

Т. Вейерштрасса

Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится.

Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x

Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

(1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

(2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Поэтому (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая: