Тема: Непрерывность функции, точки разрыва.
Цель: сформировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.
1. Повторяем материал по теме «Непрерывность» по тетради, то есть используем материал и примерные задачи, которые рассмотрели на уроке.
2. Читаем теоретический материал, который изложен в практической работе.
3. Выполняем практическую работу №2 на листах А4 письменно. Срок сдачи 1.10 2020. Сдаем в те дни, когда обучаетесь очно.
4. Консультироваться по тема практических 1 и 2 можно здесь:
https://mathprofi.ru/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti.html
https://mathprofi.ru/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva.html
Теоретические сведения к практической работе
Функция 
называется непрерывной
в точке х 0, если она: 1) определена в точке х 0; 2) имеет конечный предел при 
; 3) этот предел равен значению функции в этой точке 
Функция называется непрерывной, если:
1) 
2) 
3) 
Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Пример 1: Доказать, что функция 
непрерывна на (-∞;+∞)
Решение: 
Точка х 0 называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 1—3 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.
Классификация точек разрыва:
1) х0 – точка устранимого разрыва, если а) 
б) в точке х0 функция не определена
2) х0 – точка разрыва I рода, если 
- скачок функции
3) х0 – точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует
Определение Точка 
называется точкой разрыва функции 
, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки (то есть определена на некотором интервале, для которого служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) не существует предела слева 
;
2) не существует предела справа 
;
3) пределы слева 
и справа 
существуют, но не равны друг другу: 
;
4) пределы слева и справа существуют и равны друг другу: 
, но не совпадают со значением функции в точке : 
, или функция не определена в точке .
Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки называется разрывом первого рода в точке ; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке -- устранимым разрывом.
Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки -- разрывом второго рода в точке .
Итак, если функция имеет разрыв первого рода в точке , то существуют, как часто говорят, значения функции "на берегах разрыва": 
и 
, но точка не является точкой непрерывности.
. -- точка разрыва первого рода
Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке , положив 
, то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.
. -- точка устранимого разрыва
Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки , где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке.
. -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные варианты
Пример 2:
Найти точки разрыва функции и установить их тип
Содержание практической работы
Задание 1
Задание 2.
