Статика
1. (ВсОШ, 1999, ОЭ, 9) Из лёгких нитей и одинаковых блоков массой M каждый собрана полубесконечная система (рис.). Найдите силу F, которую показывает динамометр Д. Ответ: Mg.
2. 
(ВсОШ, РЭ 2014) Опасная затея Доска массой т лежит, выступая на 3/7 своей длины, на краю обрыва. Длина одной седьмой части доски L = 1 м. К свисающему краю доски с помощью невесомых блоков и нитей прикреплен противовес, имеющий массу 4m. На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой 3m, чтобы доска оставалась горизонтальной? Ответ: 2,5 м влево и 1,5 м вправо от края обрыва.
3. 
(ВсОШ, РЭ 2015) Постоянная планка В системе найдите величины сил, с которыми грузы действуют на однородную планку. При каких значениях массы M возможно равновесие грузов на планке? Нити и блоки невесомы. Трения нет. Масса m известна. Ответ: 
.
4. 
(МОШ, 2006, 9) Цилиндр массой M поместили на рельсы, наклонённые под углом α к горизонту (вид сбоку показан на рисунке). Груз какой минимальной массы m нужно прикрепить к намотанной на цилиндр нити, чтобы он покатился вверх? Проскальзывание отсутствует. Ответ: 
5. 
(МОШ, 2006, 9) В системе, изображённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения нет. Массы грузов на концах нити равны m1 и m2, однородная доска массой m3 лежит на горизонтальном столе так, что вертикальные участки нити, переброшенной через закреплённые на доске блоки, проходят вдоль её торцов. При каком условии доска при движении грузов будет оставаться в горизонтальном положении? Ответ: 
.
6. 
(МОШ, 2012, 9) Детская игрушка «неваляшка» состоит из двух пластмассовых шаров радиусами r1 = 9 см и r2 = 6 см (см. рисунок), полых внутри. Игрушка стоит на горизонтальном столе. В нижней точке нижнего шара закреплён маленький груз массой M = 250 г. «Неваляшка» обладает следующим свойством: если её положить набок так, чтобы оба шара касались стола, и отпустить, то она «встанет» и вновь примет вертикальное положение. При каких массах m1 и m2 нижнего и верхнего шаров соответственно игрушка обладает этим свойством? Считать, что центры масс шаров совпадают с их геометрическими центрами. Ответ: 
.
7. (МОШ, 2010, 9) Лёгкая тонкостенная чаша в виде прямоугольного параллелепипеда с длинами рёбер a, b и c свободно подвешена на горизонтальной оси так, что нижняя грань чаши с размерами a × c горизонтальна, а верхняя открыта (то есть отсутствует — см. рисунок). Ось проходит перпендикулярно граням параллелепипеда c размерами a×b в плоскости их симметрии на расстоянии h < b/2 от нижней грани a×c. Чаша начинает наполняться водой со скоростью v м 3/с. Через какое время чаша опрокинется, повернувшись вокруг оси? Что с ней будет происходить в дальнейшем, если скорость наполнения не меняется? Ответ: 
.
8. 
(МОШ, 2007, 9) На неподвижно закреплённом цилиндре радиусом R лежит тонкая линейка длиной l = 2πR и массой M. Линейка расположена горизонтально, перпендикулярно к оси цилиндра и опирается на него своей серединой. На середине линейки сидит жук массой 0,2M, который начинает медленно ползти к одному из концов линейки, прочно цепляясь за её шероховатости; линейка при этом меняет угол своего наклона к горизонту, перекатываясь по цилиндру без проскальзывания. На каком расстоянии x0 от середины линейки будет расположена точка соприкосновения линейки и цилиндра, когда жук доползет до конца линейки? Под каким углом α0 к горизонту будет при этом наклонена линейка? При каких значениях коэффициента трения µ между цилиндром и линейкой возможно такое её перекатывание без проскальзывания? Ответ: 
.
Гидростатика
1. ( ВсОШ, РЭ 2018 ) Масса поршня. Цилиндрический сосуд с поршнем соединен коническим переходником с трубкой постоянного сечения. Разность уровней воды в правом и левом колене h = 20 см. В трубку медленно наливают воду, измеряя объём V добавленной воды и подъём уровня y в правом колене.
| 
|
С помощью графика зависимости V от y найдите массу поршня и объём конической части сосуда. Трение между поршнем и цилиндром не учитывайте. Плотность воды r =1,0 г/см3, g =10 м/с2. Ответ: 
, 
.
2. 
( ВсОШ, РЭ 2018 ) Жидкое равновесие. Прямоугольный легкий сосуд с жидкостью массой m помещен на однородный рычаг массой 4m. В жидкость опущено тело массой 2m (с плотностью меньшей, чем плотность жидкости), удерживаемое нитью, перекинутой через блок (см. рисунок). Какой массы mx груз необходимо прикрепить к противоположному концу нити и разместить на краю рычага, чтобы система осталась в равновесии? Трения в осях рычага и блока нет. Необходимые расстояния можно взять из рисунка. Ответ: 
.
3. ( ВсОШ, РЭ 2017 ) Два шарика на нитях. Легкий цилиндрический сосуд с жидкостью стоит на двух симметричных опорах. Над одной из них внутри сосуда привязан к дну полностью погруженный в жидкость поплавок объемом V = 10 см3 и плотностью ρ = 500 кг/м3. Над другой опорой висит привязанный снаружи шарик такого же объема V и плотностью 3ρ. Плотность жидкости в сосуде равна r0 = 1 200 кг/м3. Найдите модуль разности сил реакции опор. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2. Ответ: 
.
4. 
(ВсОШ, РЭ 2016) Трехцилиндровый Тело, склеенное из трех соосных цилиндров разного поперечного сечения и разной высоты, погружают в некоторую жидкость и снимают зависимость силы Архимеда F, действующей на тело, от глубины h его погружения. Известно, что площадь сечения самого узкого (не факт, что самого нижнего) цилиндра S = 10 см2. Постройте график зависимости F(h) и с его помощью определите высоту каждого из цилиндров, площади сечения двух других цилиндров и плотность жидкости. В процессе эксперимента ось вращения цилиндров оставалась вертикальной, g = 10 м/с2. Ответ: длины 10 см, 7 см, 7 см; площади 10 см2, 30 см2, 60 см2; r=1000 кг/м3.
5. 
(ВсОШ, РЭ 2014) Вода и ртуть В тонкой U-образной трубке постоянного сечения находится вода и ртуть одинаковых объемов. Длина горизонтальной части трубки l = 40 см. Трубку раскрутили вокруг колена с водой, и оказалось, что уровни жидкостей в трубке одинаковы и равны h = 25 см. Пренебрегая эффектом смачивания, определите период Т вращения трубки. Справочные данные: ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2; плотности воды и ртути равны рв = 1,0 г/см3 и рр = 13,5 г/см3 соответственно. Ответ: 
.
6. 
(ВсОШ, РЭ 2013) Скорость погружения стакана В цилиндрическом сосуде, внутренний диаметр которого D = 10 см, плавает в вертикальном положении узкий, длинный, тонкостенный цилиндрический стакан диаметром d = 8 см. В стакан через распылитель наливают воду. Её массовый расход µ = 14 г/с. Какова скорость V стакана относительно дна цилиндра? Плотность воды r = 1000 кг/м3. Ответ: 
7. (ВсОШ, РЭ 2012) В цилиндрическом сосуде с площадью дна S с помощью нити удерживают под водой кусок льда, внутри которого имеется воздушная полость. Объем льда вместе с полостью равен V, плотность льда rл. После того, как лёд растаял, уровень воды в сосуде уменьшился на h. Найдите: А) объем Vn воздушной полости; Б) силу Т натяжения нити в начале опыта. Примечание. Плотность воды рв и ускорение свободного падения g считайте известными. Ответ: А) 
; Б) 
.
8. 
(ВсОШ, РЭ 2011) Для стирки белья в квадратном долевом поддоне с размером стороны а = 80 см и высотой бортика h = 20 см хозяйка использует находящийся в поддоне частично заполненный водой и бельём квадратный тазик с размером стороны а/2, высотой бортика h и общей массой т = 2,4 кг. Для полоскания белья хозяйка использует находящийся в том же поддоне круглый цилиндрический тазик, полностью заполненный водой. Радиус дна тазика R = а/4 и высота его бортика h. Каким будет уровень H воды в поддоне, если вылить в него всю воду из круглого тазика? После выливания воды круглый тазик убирают из поддона. Сливное отверстие поддона закрыто пробкой. Ответ: 
.
9. (ВсОШ, РЭ 2009) Два стакана высотой 4H заполнены до уровня 3H водой и маслом соответственно (рис. 3). Плотность воды r в = 103 кг/м3, а плотность масла rм = 0,8× 103 кг/м3. Сверху стаканы соединены заполненной водой топкой трубочкой с крапом. Открытые концы трубки погружены па 2 H в каждую из жидкостей. Какие уровни установятся в стаканах, если кран открыть? Ответ: 
10. (ВсОШ, 1992, ОЭ, 9) «Вечерело. Уставший за нелёгкий день бедный рыбак Абдулла присел на берегу реки отдохнуть. Вдруг видит — плывёт по волнам какой-то предмет, почти полностью погружённый в воду, только самый краешек виден на поверхности воды. Абдулла бросился в реку и вытащил его. Смотрит, а это старинный глиняный кувшин, с горлышком, плотно закрытым пробкой и залитым сургучной печатью. Распечатал Абдулла кувшин и обомлел: из кувшина высыпалось 147 одинаковых золотых монет. Монеты Абдулла спрятал, а кувшин закрыл, залил горлышко сургучом и бросил кувшин обратно в реку. И поплыл кувшин дальше, примерно на треть выступая над водой» — так говорится в одной из восточных сказок. Полагая, что кувшин был двухлитровым, оцените массу одной золотой монеты. Ответ: 
.
11. (ВсОШ, 1993, ОЭ, 9) Для участия в Технической Олимпиаде по подводному плаванию в Баренцевом море Чебурашка изготовил модель крокодила Гены. Однако модель оказалась слишком тяжёлой и тонула в воде. Чебурашка прикрепил к ней несколько герметичных полиэтиленовых пакетов с воздухом. Оказалось, что в Баренцевом море, где плотность воды ρс = 1050 кг/м3, при погружении на глубину, не превышающую критической величины hс = 7 м, модель всплывает, а при погружении на большую глубину тонет. В устье реки Печоры, где плотность воды равна ρп = 1000 кг/м3, критическая глубина погружения модели крокодила составила всего hп = 1 м. Найдите плотность модели крокодила Гены. Примечание. Для воздуха применим закон Бойля — Мариотта: для постоянного количества газа при неизменной температуре произведение давления p газа на занимаемый им объём V постоянно: pV = const. Ответ: 
.
12. (ВсОШ, 1994, ОЭ, 9) При плавании порожней рыболовной шхуны в одном из морей ватерлиния (уровень максимального погружения шхуны) находится на высоте hп = 0,5 м от поверхности воды, а в другом (более солёном) — на высоте hс = 0,6 м. При этом максимальная загрузка рыбой в первом море составляет mп = 50 т, а во втором — mс = 63 т. Найдите массу m0 корабля без груза. Борта шхуны в рассматриваемом диапазоне погружений можно считать вертикальными. Ответ: 
.
13. (ВсОШ, 1996, ОЭ, 9) В кастрюле плавает пористый кусок льда. Ровно половина по объёму этого «айсберга» находится над водой. Лёд вынули из воды, при этом её уровень понизился на ∆h = 6 см. Найдите суммарный объём воздушных полостей в куске льда, если поперечное сечение кастрюли S = 200 см2, а плотность льда ρл = 917 кг/м3. Ответ: 
.
14. 
(ВсОШ, 1999, ОЭ, 9) В вертикально расположенных цилиндрах, площади сечений которых S1 и S2, находятся два невесомых поршня, соединённых невесомой пружиной жёсткостью k. Пространство между поршнями заполнено водой. Нижний поршень (площадью S2) в начальном состоянии поддерживается так, что пружина не напряжена, её длина при этом равна l0 (рис. а). Затем поршень площадью S2 отпускают, и оба поршня опускаются (рис. б). На какое расстояние x сместится поршень площадью S1? Изобразите графически зависимость x от жёсткости k пружины. Оба цилиндра сообщаются с атмосферой. Ответ: 
15. 
(ВсОШ, 2002, ОЭ, 9) Система состоит из лёгкого неподвижного блока, длинной нерастяжимой нити, груза цилиндрической формы и длинной трубы с поршнем, опущенной в глубокий водоём. Плотность воды ρ0, плотность материала груза ρ1, высота цилиндра H, площади основания цилиндра и внутреннего сечения трубы одинаковы. Вначале нить удерживают так, что поршень и груз касаются воды, при этом нить натянута (рис.). В некоторый момент времени нить отпускают. Определите расстояние h, на которое груз опустится в воду после установления равновесия, в следующих случаях: 1) ρ1 = ρ0, H = 1 м; 2) ρ1 = 3ρ0, H = 4 м; 3) ρ1 = 1,5ρ0, H = 16 м. Трением в системе пренебречь, нить и поршень считать лёгкими. Ответ: 
.
16. 
(ВсОШ, 2004, ОЭ, 9) В дне сосуда имеется сужающееся отверстие, плотно закрытое конической пробкой (рис.). Площадь основания пробки S, высота — L. Уровень дна сосуда пересекает конус на половине его высоты. Плотности пробки и жидкости составляют ρ0 и ρ соответственно. Какой должна быть высота уровня жидкости H > 0 над основанием конуса, чтобы пробка не всплывала? Какую минимальную внешнюю силу F, направленную вверх, нужно в этом случае приложить к пробке, чтобы её вытащить? Примечание. Объём конуса V = LS/3. Ответ: 
.
17. 
(МОШ, 2016, 9) Какой максимальный объём масла плотностью 0,8ρ можно налить в L−образную трубку с открытыми концами, частично заполненную водой плотностью ρ? Площадь сечения вертикальных колен трубки S. Объёмом горизонтальной соединительной трубочки можно пренебречь. Размеры L-образной трубки и высота столба воды указаны на рисунке. Пунктирные метки сделаны на одинаковых расстояниях h друг от друга. Затыкать открытые концы, наклонять трубку и выливать из неё воду нельзя. Ответ: 
.
18. 
(МОШ, 2006, 9) В два сообщающихся цилиндра налита вода. Один из цилиндров с площадью поперечного сечения S1 открыт, а другой закрыт сверху поршнем, к которому прикреплена пружина (см. рис.) Система находится в равновесии. Если точку подвеса пружины сместить вниз на расстояние a, то свободная поверхность воды в первом цилиндре поднимется на расстояние α1a, а поршень опустится на расстояние α2a (α1 и α2 — положительные коэффициенты). Чему равна площадь поперечного сечения S2 закрытого цилиндра? На какое расстояние b2 сместился бы поршень, если бы в открытый цилиндр долили объём V воды, не смещая точку подвеса пружины? Чему равна жёсткость пружины k? Ускорение свободного падения равно g, плотность воды равна ρ. Ответ: 
19. 
(МОШ, 2009, 9) Малый сосуд удерживают внутри большого так, как показано на рисунке. В дне малого сосуда есть отверстие со втулкой, в которое вставлен цилиндр. Высота цилиндра h = 21 см, он может перемещаться относительно втулки без трения и только по вертикали. В малом сосуде находится вода, в большом — спирт, и при этом цилиндр покоится. На какой глубине под водой находится верхнее основание цилиндра? Плотность воды ρв = 1000 кг/м3, плотность спирта ρс = 790 кг/м3, плотность цилиндра ρ = 600 кг/м3. Ответ: 
20. 
(МОШ, 2011, 9) В цилиндрическом сосуде высотой h = 20 см находится смесь воды и мелких кусочков льда (см. рисунок). На поверхности плавает круглая стальная крышка толщиной d = 2 мм, нижний край которой находится точно на поверхности воды. Найдите среднюю плотность смеси воды и льда. Плотность воды ρв = 1000 кг/м3, плотность льда ρл = 1000 кг/м3, плотность стали ρс = 7800 кг/м3. Трением льда о стенки сосуда пренебречь. Ответ: 
.
21. 
(МОШ, 2015, 9) Длинный однородный брусок с поперечным сечением в виде прямоугольника со сторонами a 6= b подвешен на двух вертикальных нитях, прикреплённых к одному из рёбер, над сосудом, в который наливают воду. Когда в сосуд налили некоторое количество воды, два ребра бруска оказались точно на поверхности воды (вид сбоку со стороны вышеупомянутого поперечного сечения показан на рисунке). Найдите плотность материала, из которого сделан брусок. Плотность воды равна ρ = 1 г/см3. Примечание: центр масс однородного треугольника расположен на пересечении его медиан. Ответ: 
22. (МОШ, 2008, 9) Тонкий карандаш, подвешенный на нитке за один из концов, начинают погружать в воду, медленно опуская точку подвеса (см. рисунок). Определите максимальную глубину h погружения нижнего конца карандаша, если длина карандаша l = 18 см, а его средняя плотность в n = 2 раза меньше плотности воды. Ответ: 