Задания для практических занятий по теме «Аналитическая геометрия»
Прямая на плоскости
1) Среди прямых указать параллельные и перпендикулярные.
2) Прямая задана точкой и нормальным вектором . Составить уравнение этой прямой и привести его к общему виду.
3) Написать уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки, величины которых соответственно равны 3 и 4.
4) Составить уравнение прямой, проходящей через точки .
5) Определить угловой коэффициент и отрезок для каждой из прямых: .
6) Найти уравнение прямой, образующей с осью угол и пересекающей ось в точке .
7) Найти расстояние от точки до прямой .
8) Записать уравнение прямой в отрезках, найти точки, в которых прямая пересекает оси координат.
9) Определить острый угол между прямыми и .
10) Составить уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой:
а) б) в) г) .
11) Установить, пересекаются, параллельны или совпадают данные прямые:
а) и б) и
в) и г) и
12) При каких значениях прямые и :
а) пересекаются, б) параллельны, в) совпадают?
13) Точки вершины треугольника . Написать:
а) уравнение стороны б) уравнение высоты и вычислить ее длину, в) уравнение медианы стороны , г) найти угол треугольника .
14) Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой:
а) б) в) г) .
15) Найти расстояние от точки до прямой:
а) б) в) г) .
16) Найти угол между прямыми:
а) и б) и
в) и
17) Дано общее уравнение прямой . Написать: а) уравнение с угловым коэффициентом, б) уравнение в отрезках, в) нормальное уравнение.
18) Определить площадь треугольника, образованного прямой с осями координат.
19) Показать, что прямые и пересекаются, и найти координаты точки пересечения
Плоскость и прямая в пространстве
1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки .
2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .
3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной плоскостям и .
4) Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.
5) Определить расстояние от точки до плоскости .
6) Найти угол между плоскостями и .
7) Даны две точки и . Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикулярно прямой .
8) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам и .
9) Определить взаимное расположение пар плоскостей:
а) и ; |
б) и ; |
в) и . |
10) Найти расстояние от точки до плоскости .
11) Найти расстояние между параллельными плоскостями:
а) и ; |
б) и . |
12) При каких значениях и плоскости и параллельны?
13) При каком значении плоскости и перпендикулярны?
14) Написать уравнение прямой, проходящей через точку :
а) параллельно вектору ; б) параллельно прямой ;
в) параллельно оси ; г) параллельно оси ; д) параллельно прямой
15) Уравнения прямой привести к каноническому виду.
16) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки .
17) Составить канонические и параметрические уравнения прямой
18) Найти угол между прямыми и .
19) Доказать перпендикулярность прямых и
20) Составить канонические уравнения прямой, если она:
а) проходит через две точки и ,
б) проходит через точку перпендикулярно плоскости ,
в) проходит через точку параллельно прямой
21) Определить взаимное расположение прямых:
а) и |
б) и |
в) и |
22) Найти косинус угла между прямыми и
23) Показать, что прямые и пересекаются, найти координаты точки пересечения.
24) Показать, что прямая параллельна плоскости .
25) Найти точку пересечения прямой и плоскости .
26) Найти расстояние от точки до прямой .
27) Найти расстояние между прямыми:
а) и ; |
б) и |
28) Доказать, что прямая параллельна плоскости .
29) Найти точку пересечения прямой и плоскости .
30) Найти точку пересечения прямой и плоскости .
Кривые на плоскости
1). Составить каноническое уравнение эллипса, если:
а) , ; б) , ; в) , ; г) большая полуось равна 3, а расстояние между фокусами равно , д) эллипс проходит через точки и .
2) Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
а) , ; б) , ; в) , – уравнения асимптот; г) мнимая полуось равна 1, а расстояние между фокусами равно .
3) Написать каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (0,0), если:
а) она расположена в левой полуплоскости, симметрична относительно оси Ох и ;
б) если она симметрична относительно оси Оу и походит через точку М (4,–8);
в) если точка F (0,3) – фокус.
4) Найти радиус и координаты центра окружности:
а) ; б) ,
в) г) .
5) Определить вид кривой второго порядка, заданной уравнением, найти ее центр, координаты вершин, фокусов и эксцентриситет:
а) б) ,
в) , г) .
6) Дано уравнение эллипса . Найти: длины его полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса, уравнение директрис и расстояние между ними, точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 12.
7) Дано уравнение гиперболы . Найти: длины его полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет гиперболы, уравнения асимптот и директрис, фокальные радиусы точки .
8) Найти координаты вершины и фокуса, уравнение оси и директрисы параболы
а) , б) .