Задания для практических занятий по теме «Аналитическая геометрия»
Прямая на плоскости
1) Среди прямых 
указать параллельные и перпендикулярные.
2) Прямая 
задана точкой 
и нормальным вектором 
. Составить уравнение этой прямой и привести его к общему виду.
3) Написать уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки, величины которых соответственно равны 3 и 4.
4) Составить уравнение прямой, проходящей через точки 
.
5) Определить угловой коэффициент 
и отрезок 
для каждой из прямых: 
.
6) Найти уравнение прямой, образующей с осью 
угол 
и пересекающей ось 
в точке 
.
7) Найти расстояние от точки до прямой 
.
8) Записать уравнение прямой 
в отрезках, найти точки, в которых прямая пересекает оси координат.
9) Определить острый угол между прямыми 
и 
.
10) Составить уравнение прямой, проходящей через точку 
и параллельной прямой:
а) 
б) 
в) 
г) 
.
11) Установить, пересекаются, параллельны или совпадают данные прямые:
а) 
и 
б) 
и 
в) 
и 
г) 
и 
12) При каких значениях 
прямые 
и 
:
а) пересекаются, б) параллельны, в) совпадают?
13) Точки 
вершины треугольника 
. Написать:
а) уравнение стороны 
б) уравнение высоты 
и вычислить ее длину, в) уравнение медианы 
стороны 
, г) найти угол 
треугольника .
14) Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой:
а) б) в) г) .
15) Найти расстояние от точки до прямой:
а) б) в) г) .
16) Найти угол между прямыми:
а) 
и 
б) 
и 
в) 
и 
17) Дано общее уравнение прямой 
. Написать: а) уравнение с угловым коэффициентом, б) уравнение в отрезках, в) нормальное уравнение.
18) Определить площадь треугольника, образованного прямой 
с осями координат.
19) Показать, что прямые 
и 
пересекаются, и найти координаты точки пересечения
Плоскость и прямая в пространстве
1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки 
.
2) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярной вектору 
.
3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярной плоскостям 
и 
.
4) Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 
и координатными плоскостями.
5) Определить расстояние от точки 
до плоскости .
6) Найти угол между плоскостями 
и 
.
7) Даны две точки 
и 
. Составить уравнение плоскости, проходящей через 
перпендикулярно прямой 
.
8) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно двум векторам 
и 
.
9) Определить взаимное расположение пар плоскостей:
а)  и  ;
|
б)  и  ;
|
в)  и  .
|
10) Найти расстояние от точки 
до плоскости 
.
11) Найти расстояние между параллельными плоскостями:
а)  и  ;
|
б) и  .
|
12) При каких значениях 
и плоскости 
и 
параллельны?
13) При каком значении плоскости 
и 
перпендикулярны?
14) Написать уравнение прямой, проходящей через точку 
:
а) параллельно вектору 
; б) параллельно прямой 
;
в) параллельно оси 
; г) параллельно оси 
; д) параллельно прямой 
15) Уравнения прямой 
привести к каноническому виду.
16) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки 
.
17) Составить канонические и параметрические уравнения прямой 
18) Найти угол между прямыми 
и 
.
19) Доказать перпендикулярность прямых 
и 
20) Составить канонические уравнения прямой, если она:
а) проходит через две точки 
и 
,
б) проходит через точку 
перпендикулярно плоскости 
,
в) проходит через точку параллельно прямой 
21) Определить взаимное расположение прямых:
а)  и 
|
б)  и 
|
в)  и 
|
22) Найти косинус угла между прямыми 
и 
23) Показать, что прямые 
и 
пересекаются, найти координаты точки пересечения.
24) Показать, что прямая 
параллельна плоскости 
.
25) Найти точку пересечения прямой 
и плоскости 
.
26) Найти расстояние от точки 
до прямой 
.
27) Найти расстояние между прямыми:
а)  и  ;
|
б)  и 
|
28) Доказать, что прямая параллельна плоскости 
.
29) Найти точку пересечения прямой 
и плоскости 
.
30) Найти точку пересечения прямой 
и плоскости 
.
Кривые на плоскости
1). Составить каноническое уравнение эллипса, если:
а) 
, 
; б) 
, 
; в) 
, ; г) большая полуось равна 3, а расстояние между фокусами равно 
, д) эллипс проходит через точки 
и 
.
2) Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
а) 
, 
; б) 
, 
; в) 
, 
– уравнения асимптот; г) мнимая полуось равна 1, а расстояние между фокусами равно 
.
3) Написать каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (0,0), если:
а) она расположена в левой полуплоскости, симметрична относительно оси Ох и 
;
б) если она симметрична относительно оси Оу и походит через точку М (4,–8);
в) если точка F (0,3) – фокус.
4) Найти радиус и координаты центра окружности:
а) 
; б) 
,
в) 
г) 
.
5) Определить вид кривой второго порядка, заданной уравнением, найти ее центр, координаты вершин, фокусов и эксцентриситет:
а) 
б) 
,
в) 
, г) 
.
6) Дано уравнение эллипса 
. Найти: длины его полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса, уравнение директрис и расстояние между ними, точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 12.
7) Дано уравнение гиперболы 
. Найти: длины его полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет гиперболы, уравнения асимптот и директрис, фокальные радиусы точки 
.
8) Найти координаты вершины и фокуса, уравнение оси и директрисы параболы
а) 
, б) 
.