Если мы уверены, что модель является корректной, алгоритм и программа созданы без ошибок, а погрешности вычисления незначительны, то в принципе в этом этапе нет необходимости, но такие случаи встречаются редко. Как правило, из-за наличия допущений модель может приводить к существенным ошибкам при численных исследованиях. Кроме того ошибки могут содержать алгоритм и программа, а численные схемы – генерировать значительные погрешности в расчетах. Таким образом, требуется проверка модели и получаемых с ее помощью результатов на достоверность. Это и происходит на этапе тестирования и идентификации.
При создании модели всплытия подлодки мы сделали, по крайней мере, два грубых допущения:
- о мгновенном заполнении цистерн;
- об отсутствии сопротивления воды при подъеме лодки.
Поэтому необходимо сравнить результаты, полученные по созданной математической модели, с данными более точных моделей или с экспериментальными результатами. По-видимому, реальная траектория и траектория, рассчитанная по нашей математической модели, будут соотноситься так, как показано на Рис. 1.5., где d1 – ошибка из-за допущения о мгновенном заполнении цистерн; d2 – ошибка, вызванная пренебрежением сил сопротивления воды.
 |
Рис. 1.5 Траектории всплытия подводной лодки.
1 – траектория, вычисленная по математической модели; 2 – реальная траектория.
В результате идентификации необходимо сформировать рекомендации об области применения модели. В частности, для нашей модели всплытия значения d1, d2 будут небольшими при малых скоростях подъема.
Численные исследования.
Этот этап соответствует применению модели на практике, когда, варьируя параметрами модели, путем выполнения расчетов мы получаем интересующие нас характеристики. Эти характеристики анализируются, обобщаются, объясняются и в результате вырабатываются какие-то рекомендации по свойствам объектов, по выбору наилучших параметров, по методам управления системой и т.д. В примере со всплытием подлодки на этапе численных исследований выполняются расчеты с изменением параметров H, Wл, rл, в результате строятся графики (Рис. 1.6) и номограммы, а также вырабатываются какие-то рекомендации, например о необходимости снижения начальной скорости перед всплытием.
 |
Рис. 1.6 Траектории всплытия подводной лодки при различных скоростях Wл.
1 – Wл = W0; 2 – Wл < W0; 3 - Wл > W0.
В последующих темах данного курса этапы математического моделирования будут описаны более подробно с примерами и изложением необходимого математического и предметного обеспечения, а именно:
- Тема 2 относится к этапам постановки задачи и физической схематизации;
- Тема 3 относится к этапу построения математической модели;
- Тема 4 относится к этапу создания алгоритма решения задачи;
- Тема 5 относится к этапу разработки программ.
Контрольные вопросы.
1. Охарактеризуйте виды моделирования.
2. Опишите различие между физическим и математическим моделированием (с примерами).
3. В каких областях деятельности и знаний применяется математическое моделирование? Приведите примеры из параллельно изучаемых вами дисциплин.
4. Охарактеризуйте достоинства и недостатки математического моделирования (по сравнению с методологией, приведенной на Рис 1.3). Приведите пример.
5. Приведите примеры систем недоступных для физического воздействия, но которые можно исследовать с помощью математического моделирования.
6. Как Архимед определил объем короны?
7. Какие законы действуют при “подтягивании” гаек на колесах автомобилей?
8. Какие свойства и законы природы следует применять при формировании математической модели образования льда на реках?
9. Найти аналитическую формулу Y = f(X) для траектории движения точки, описывающегося зависимостями:
(К1)
в интервале t = 0 ÷ 2π.
10. Найти аналитическую формулу Y = f(X) для траектории движения точки, описывающегося зависимостями:
(К2)
в интервале t = 1 ÷ 10. Найти начальную (X0, Y0) и конечную (Xf, Yf) точки траектории.
11. Найти формулу зависимости скорости автомобиля от расхода топлива (W = f(G)) на стационарном режиме, используя соотношения:
. (К3)
где P – тяга; S – сила сопротивления; G – расход топлива; a, b, ξ, ρ – известные величины.
На стационарном режиме тяга и сила сопротивления уравновешены.
12. Написать программу на ФОРТРАНЕ для определения траектории точки, движение которой описывается уравнениями:
(К4)
Движение происходит в интервале t = 1 ÷ 5, шаг по траектории Δt = 0,2 значения a, b, c, S являются известными. Предусмотреть печать исходных данных, а также значений Xi, Yi в рассчитываемых точках траектории.
13. В результате создания некоторой математической модели была получена зависимость расхода топлива (G л/час) от скорости движения автомобиля (V):
(К5)
в интервале V = 1 ÷ 100 км/час. Покажите, что формула (К5) не корректна.
14. Студент С выписал из учебника (с одной ошибкой) эмпирическую формулу зависимости максимальной скорости грузовика от веса груза (P) и мощности двигателя (W):
(К6)
для интервалов W = (100÷300) л.с.; P = (2 ÷ 15) тонн. a и b являются известными величинами. Покажите, что формула (К6) неверна и дайте вариант правильной формулы.