Порядок проведения работы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ сечений

Цель работы: экспериментальная проверка теоретических расчетов координат центра тяжести плоских фигур сложной формы.

Оборудование, материалы, инструменты: настольная переносная установка ТМ-04 для определения координат центра тяжести сложных фигур экспериментальным путем; комплект профилей заданного типа; миллиметровая бумага.

Продолжительность работы: 4 часа.

Теоретические сведения

Центром тяжести тела плоской фигуры сложной формы является точка в которой можно приложить уравновешивающую силу, равную по модулю сумме всех действующих сил тяжести отдельных простых фигур, составляющих данное тело и противоположно им направленную. Через центр тяжести проходят главные центральные оси и если центр тяжести в лабораторных условиях определен верно, то относительно него фигура не должна поворачиваться в статическом режиме. Центр тяжести однородных тел можно определить различными способами, с тремя из которых мы сегодня познакомимся.

Геометрический способ применяют для простых тел, имеющих правильную геометрическую форму, где центр тяжести совпадает с его геометрическим центром, через который проходят его главные центральные оси. Большинство из этих фигур широко известны, например: центр тяжести круга находится в его центре: центр тяжести прямоугольника в точке пересечения его диагоналей; центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан - прямых, проведенных из вершин треугольника до середин противолежащих сторон; центр тяжести сектора находится на среднем его радиусе; центр тяжести сегмента на перпендикуляре, восстановленном из середины его хорды и т. д.

Расчетный способ применим для реальных объемных тел и основан на законах механики. Из теоретического курса известно, что плоскую фигуру сложной формы можно представить в виде отдельных фигур простых форм, центр тяжести которых известен или легко определяется. Это позволяет провести несложные вычисления координат положения главных центральных осей всей сложной фигуры по известным формулам.

Предположим, что имеются произвольные малые объемы, которые обозначим как , а координаты некоторой точки по трем координатным осям, лежащим внутри объема, через , то можно записать:

(1)

При переходе от равенства к пределу, когда объем стремится к нулю, правая часть уравнения обращается в интегралы, которые описывают состояние всего объема тела по трем координатам. В этом случае можно записать:

, , . (2)

Аналогичные выражения для координат центра тяжести тела можно записать для площади и длины всей линии по трем координатам:

. (3)

. (4)

В формулах 1 – 4 приняты обозначения: - объем тела; - площадь тела по каждой координате; - длина всей линии.

Центр тяжести сложной плоской фигуры рассмотрим на следующем примере. На рис. 1 изображена фигура сложной формы. Разобьем ее на несколько простых фигур, площади и положение центров тяжести которых нам известны. Из теоретического курса известно, что центр тяжести сложной фигуры можно вычислить, если известны площади простых фигур, составляющих эту фигуру и расстояние от начала выбранной системы координат до их центров тяжести.

Тогда ордината и абсцисса центра тяжести всей фигуры могут быть вычислены по формулам:

; (5)

; (6)

где:

- площади простых частей сложной фигуры;

- координата их центров тяжести по оси ординат;

- координата центров тяжести по оси абсцисс.

В упрощенном виде формулы (5) и (6) для определения координат центра тяжести плоской фигуры сложной формы имеют вид:

; (7)

. (8)

Лабораторная установка

Лабораторная установка для проведения эксперимента по определению центра тяжести плоских фигур сложной формы выполнена в переносном варианте и представлена на рис. 2. Цилиндрическая стойка 1 жестко закреплена на основании 2 и имеет возможность регулирования вертикального положения посредством трех установочных опор 8. На оси 5 подвешивается образец 3 заданной формы, на котором через вертикальную прорезь в штанге отвеса 4 наносится линия, проходящая через центр тяжести плоской фигуры для данной точки подвеса. У образца имеется три точки подвеса и пересечение линий, проведенных для каждого закрепления, определяет точку положения центра тяжести всей фигуры в целом. Для дополнительной фиксации образца предусмотрены два упора 6, ограничивающие его отклонения при нанесении линии.

Порядок проведения работы

1. Получить образцы заданной формы, например рис. 3, провести измерения геометрических размеров этих образцов.

2. Вычислить площади А_i простых элементов, составляющих эти фигуры, измерить координаты x₁ , y₁ до их центров тяжести, занести все в таблицу 1.

3. По формулам (6) – (8) вычислить теоретическое положение X _теор., Y _теор.центра тяжести для каждой сложной плоской фигуры, результаты занести в таблицу 1.

4. Закрепить каждую из заданных фигур последовательно за три точки подвеса, провести линии, пересечение которых определяет экспериментальное положение X _эксп.., Y _эксп.центра тяжести. Измерить положение точки пересечения от начала координат и занести в таблицу 1.

5. Оценить погрешность положения центра тяжести каждой фигуры, дать заключение, сделать выводы по лабораторной работе.

Таблица 1

Результаты эксперимента и теоретических расчетов