Очень часто, урони рядов динамики колеблются, при этом тенденция развития явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.
Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы:
1. аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний;
2. механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.
Суть методов механического сглаживания заключается в следующем. Берется несколько уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и так далее.
Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней.
2.4.1. Метод простой скользящей средней.
Сначала для временного ряда: 
определяется интервал сглаживания 
. Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания.
| При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным. |
Для первых 
уровней ряда вычисляется их среднее арифметическое. Это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление среднего арифметического и так далее. Для вычисления сглаженных уровней ряда 
применяется формула:
где 
(при нечетном ); для четных формула усложняется.
В результате такой процедуры получаются 
сглаженных значений уровней ряда; при этом первые 
и последние уровней ряда теряются (не сглаживаются). Другой недостаток метода в том, что он применим лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию.
2.4.2. Метод взвешенной скользящей средней.
Метод взвешенной скользящей средней отличается от предыдущего метода сглаживания тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, что аппроксимация ряда в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием полинома не первой степени, как в предыдущем случае, а степени начиная со второй.
Используется формула средней арифметической взвешенной:
,
причем веса 
определяются с помощью метода наименьших квадратов. Эти веса рассчитаны для различных степеней аппроксимирующего полинома и различных интервалов сглаживания.
1. для полиномов второго и третьего порядков числовая последовательность весов при интервале сглаживания 
имеет вид: 
, а при 
имеет вид: 
;
2. для полиномов четвертой и пятой степеней и при интервале сглаживания последовательность весов выглядит следующим образом: 
.
Распределение весов на протяжении интервала сглаживания, полученное на основе метода наименьших квадратов см. на диаграмме 1.
 |
2.4.3. Метод экспоненциального сглаживания.
К той же группе методов относится метод экспоненциального сглаживания.
Его особенность заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда.
Если для исходного временного ряда
соответствующие сглаженные значения обозначить через 
, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:
, (4)
где 
параметр сглаживания 
; величина 
называется коэффициентом дисконтирования.
Используя, приведенное рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени 
, можно получить, что экспоненциальная средняя, то есть сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней:
;
здесь 
величина, характеризующая начальные условия.
В практических задачах обработки экономических временных рядов рекомендуется выбирать величину параметра сглаживания в интервале от 0,1 до 0,3. Других точных рекомендаций для выбора оптимальной величины параметра 
нет. В отдельных случаях предлагается [1] определять величину исходя из длины сглаживаемого ряда:
.
Что касается начального параметра 
, то в конкретных задачах его берут или равным значению первого уровня ряда 
, или равным среднему арифметическому нескольких первых членов ряда, например, элементов 
:
.
Указанный выше порядок выбора величины обеспечивает хорошее согласование сглаженного и исходного рядов для первых уровней. Заметим, что метод сглаживания не теряет ни начальные, ни конечные уровни ряда.