Важной характеристикой временного ряда показателей динамики является средний уровень ряда. В интервальном ряду динамики с равноотстоящими во времени уровнями расчет среднего уровня ряда производится по формуле простого среднего арифметического:
. (5)
Если интервальный ряд имеет неравноотстоящие во времени уровни, то средний уровень ряда (так называемая средняя хронологическая) вычисляется по формуле взвешенным средним арифметическим, где роль весов играет продолжительность времени (например, количество лет), в течение которого уровень постоянен:
, (6)
где 
число периодов времени, при которых значение уровня 
не меняется.
Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:
, (7)
где 
число уровней ряда.
Средняя хронологическая для моментного ряда с неравноотстоящими во времени уровнями вычисляется по формуле:
. (8)
Здесь число уровней ряда, а 
период времени, отделяющий 
й уровень ряда от 
го уровня.
При статистическом анализе временных рядов часто возникает необходимость оценить зависимость изучаемого показателя от его значений, рассматриваемых с некоторым запаздыванием во времени. Зависимость значений уровней временного ряда от предыдущих (сдвиг на 1), предпредыдущих (сдвиг на 2), и так далее уровней того же временного ряда называется автокорреляцией во временном ряду. Процесс накопления отклонений (который вполне естественен в этом случае), называется авторегрессионным процессом. Для получения числовой характеристики такой внутренней зависимости вычисляют взаимную корреляционную функцию между исходным рядом и тем же рядом, сдвинутым на величину 
. Такую функцию называют автокорреляционной, она характеризует внутреннюю структуру ряда и состоит из множества коэффициентов автокорреляции (нециклических), рассчитываемых по формуле:
. (9)
Задавая различные значения 
, получаем последовательность значений 
. На практике рекомендуется вычислять такие коэффициенты в количестве от 
до 
.
График автокорреляционной функции называется коррелограммом и показывает величину запаздывания, с которым изменение показателя сказывается на его последующих значениях. Величина сдвига , которому соответствует наибольший коэффициент автокорреляции, называется временным лагом.
В ряде случаев используется упрощенная формула для вычисления коэффициента автокорреляции:
, (10)
где 
средний уровень ряда.
Практическое задание.
1. Исследовать временной ряд динамических показателей на наличие аномальных уровней с помощью метода Ирвина. Если аномальные уровни ряда имеют место, осуществить сглаживание ряда (устранить аномальные уровни) заменой их средним арифметическим соседних уровней, выбирая сначала три, а затем, повторяя процедуру, выбирая, пять соседних уровней. И в том и другом случаях, проверка методом Ирвина применяется несколько раз, пока аномальные уровни не исчезнут.
2. Методом проверки разностей средних уровней, разбивая временной ряд данных, примерно на две равные части и вычисляя для каждой из частей среднее значение и дисперсию осуществите проверку однородности совокупности данных. Далее, проверить равенство дисперсий обеих частей с помощью критерия Фишера. Если гипотеза о равенстве дисперсий принимается, перейти к проверке гипотезы об отсутствии тренда с использованием критерия Стьюдента. Для вычисления эмпирического значения 
статистики, использовать формулы:
,
где 
среднее квадратическое отклонение разностей средних:
.
Расчетное значение статистики сравните с табличным.
3. Используя метод Фостера-Стьюарта, осуществите проверку основных гипотез относительно наличия трендов совокупности данных.
4. Осуществите механическое сглаживание уровней ряда:
а). методом простой скользящей средней;
б). методом взвешенной скользящей средней;
в). методом экспоненциального сглаживания.
5. Проверьте наличие процессов автокорреляции в указанном ряду данных и постройте коррелограмм.
Варианты заданий:
Вариант 1.
| |||||||||||||||
| 3,12 | 3,57 | 2,99 | 3,07 | 3,11 | 3,21 | 2,98 | 3,02 | 3,10 | 3,43 | 3,37 | 3,23 | 3,03 | 3,15 | 3,45 |
Вариант 2.
|
| |||||||||||||||
|
| 2,24 | 2,43 | 2,99 | 2,09 | 2,45 | 2,28 | 1,99 | 2,02 | 2,21 | 2,13 | 2,37 | 2,23 | 2,03 | 2,52 | 2,51 |
Вариант 3.
|
| |||||||||||||||
|
| 6,29 | 6,57 | 6,19 | 6,27 | 6,31 | 6,51 | 6,38 | 6,42 | 6,19 | 6,23 | 6,34 | 6,13 | 6,43 | 6,35 | 6,21 |
Вариант 4.
|
| |||||||||||||||
|
| 9,21 | 8,52 | 9,09 | 9,07 | 9,39 | 8,59 | 8,18 | 8,49 | 9,09 | 9,21 | 9,37 | 9,19 | 8,47 | 9,31 | 9,21 |
Вариант 5.
|
| |||||||||||||||
|
| 3,59 | 3,77 | 4,19 | 4,67 | 3,91 | 4,01 | 4,08 | 3,62 | 4,19 | 4,13 | 3,84 | 4,03 | 3,73 | 3,85 | 4,21 |
Вариант 6.
|
| |||||||||||||||
|
| 7,09 | 6,77 | 7,29 | 6,97 | 6,91 | 7,11 | 7,08 | 6,69 | 7,29 | 7,13 | 6,84 | 7,03 | 6,73 | 6,85 | 7,21 |
Вариант 7.
|
| |||||||||||||||
|
| 4,39 | 4,27 | 4,31 | 4,47 | 5,01 | 4,21 | 4,18 | 5,62 | 2,91 | 4,13 | 3,84 | 4,13 | 3,73 | 4,85 | 2,21 |
Вариант 8.
|
| |||||||||||||||
|
| 8,59 | 7,77 | 8,19 | 7,67 | 8,91 | 8,01 | 7,08 | 8,62 | 7,19 | 8,13 | 7,84 | 8,03 | 7,73 | 7,85 | 7,21 |
Вариант 9.
|
| |||||||||||||||
|
| 3,67 | 4,21 | 4,19 | 3,17 | 3,92 | 4,01 | 3,88 | 4,23 | 3,89 | 3,43 | 3,84 | 4,23 | 3,75 | 3,81 | 4,21 |
Вариант 10.
|
| |||||||||||||||
|
| 1,59 | 2,71 | 2,19 | 1,87 | 1,93 | 2,21 | 2,08 | 1,69 | 2,29 | 2,13 | 1,87 | 2,03 | 1,73 | 1,85 | 2,31 |
Вариант 11.
|
| |||||||||||||||
|
| 9,19 | 8,79 | 9,31 | 8,97 | 8,93 | 9,23 | 9,08 | 8,99 | 9,21 | 9,13 | 8,87 | 9,03 | 8,79 | 9,35 | 8,91 |
Вариант 12.
|
| |||||||||||||||
|
| 6,29 | 5,93 | 5,31 | 6,97 | 5,91 | 6,03 | 6,08 | 5,99 | 6,21 | 6,13 | 5,87 | 6,03 | 5,79 | 6,35 | 5,91 |
Вариант 13.
|
| |||||||||||||||
|
| 3,49 | 3,13 | 3,61 | 3,67 | 3,96 | 3,43 | 3,18 | 3,09 | 3,28 | 3,33 | 3,57 | 3,93 | 3,49 | 3,35 | 3,31 |
Вариант 14.
|
| |||||||||||||||
|
| 5,49 | 4,16 | 4,67 | 5,72 | 4,96 | 5,46 | 4,28 | 5,19 | 4,88 | 5,13 | 4,51 | 4,93 | 5,19 | 4,31 | 4,21 |
Вариант 15.
|
| |||||||||||||||
|
| 1,49 | 1,16 | 1,67 | 1,72 | 1,96 | 1,46 | 1,28 | 1,19 | 1,88 | 1,13 | 1,51 | 1,93 | 1,19 | 1,31 | 1,21 |
Указание:
1. Для обработки данных используйте стандартный пакет приложений Excel’XX for Windows.
2. Осуществляя сглаживание аномальных уровней ряда, постройте графики исходного ряда и ряда со сглаженными уровнями, используя вставку «Диаграмма».
3. Протокол решения задачи запишите в тетрадь (приложите распечатку).
Литература:
1. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М.: Финансы и статистика, 1986.
2. Статистическое моделирование и прогнозирование. / под ред. А.Г. Гранбернга – М.: Финансы и статистика, 1990.
3. Экономико-математические методы и прикладные модели. / под ред. В.В. Федосеева – М.: ЮНИТИ, 2002.
[1] В экономических процессах, как правило, упорядочение происходит в соответствии со временем. Таким образом, при изучении последовательных наблюдений экономических показателей все три приведенных выше термина используются как равнозначные.