Файл: FERMA-2mPF-for
© Н. М. Козий, 2007
Авторские права защищены свидетельствами Украины
№ 27312 и № 28607
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение(https://soluvel.okis.ru/evrika.html):
Аn+ Вn = Сn /1/
где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
Аn = Сn -Вn /2/
Пусть показатель степени n=2m. Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом:
А2m = С2m –В2m /3/
Для доказательства великой теоремы Ферма используем алгебраическое доказательство теоремы Пифагора.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫПИФАГОРА (Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах)
Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
С2 =А2 + В2, /4/
где: С – гипотенуза; А и В – катеты.
Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /4/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.
Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /4/ запишем следующим образом:
А2 = С2 –В2 /5/
Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение /5/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение /5/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2=(C-B)∙(C+B) /6/
Используя метод замены переменных, обозначим:
C-B=M /7/
Из уравнения /7/ имеем:
C=B+M /8/
Из уравнений /6/, /7/ и /8/ имеем:
А2 =M∙ (B+M+B)=M∙(2B+M) = 2BM+M2 /9/
Из уравнения /9/ имеем:
А2- M2=2BM /10/
Отсюда: B = 
/11/
Из уравнений /8/ и /11/ имеем:
C= 
/12/
Таким образом: B = 
/ 13/
C 
/14/
Из уравнений /11/ и /12/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2 на число M, т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А или A2.
Числа А и M должны иметь одинаковую четность.
По формулам /13/ и /14/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M.
Из изложенного следует: 1. Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B и C ( при M=1). 2. Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C. 3. Квадрат числа Am равен разности квадратов нескольких пар чисел.4. Все числа A> 2 являются пифагоровыми.
Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫФЕРМА
Вариант 1
Уравнение /3/ с учетом уравнений /5/ и /6/ запишем следующим образом:
А2m = С2m –В2m =(Сm –Вm )∙(Сm +Вm) /15/
Тогда в соответствии с уравнениями /13/ и /14/ запишем:
Bm = 
/16/
Cm 
/17/
Из уравнений /16/ и /17/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2m на число M, т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А или A2m. Следовательно, число A2m должно быть равно:
A2m = M· D, /18/
где D – целое число.
Тогда: Bm = 
/19/
А число Cm с учетом уравнения /8/ равно:
Cm = Bm + M = 
/20/
Тогда из уравнений /19/ и /20/ следует:
B = 
/21/
C 
/22/
Если допустить, что В – целое число, то из уравнения /22/ следует, что число С не может быть целым числом, так как сомножители в скобках в подкоренных выражениях в уравнениях /21/ и /22/ отличаются всего на 1.