Цепи с распределенными параметрами
Определения
Электрическими линиями (цепями) с распределенными параметрами называют такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к другой (соседней точке).
Под магнитными линиями с распределенными параметрами понимают такие, магнитный поток и магнитное напряжение вдоль которых непрерывно меняются при переходе от одной точки линии к соседней точке.
Эффект непрерывного изменения тока (потока) имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными сопротивлениями.
Первым критерием цепи с распределенными параметрами (длинной линии) является соизмеримость длины электромагнитной волны (λ) с длиной линии.
Вторым критерием длинной линии (ДЛ) является величина напряжения между проводами линии. Если U > 1000 В, то резко возрастают точки утечки через изоляцию проводов и токи электрического смещения.
В теории ДЛ считают, что каждый элемент длины имеет погонное или собственное активное сопротивление 
(Ом/м), индуктивность 
(Гн/м) и активную проводимость 
(См/м), что является некоторой идеализацией.
Через dx обозначен бесконечно малый элемент длины линии.
Сопротивления Z 1, Z 2, Z 3 … называют продольными сопротивлениями, в них включены сопротивления и прямого, и обратного проводов;
Сопротивления Z 4, Z 5, Z 6 … называют поперечными сопротивлениями.
В электрических цепях с распределенными параметрами продольные сопротивления образованы активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной dx.
Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утечки, появляющихся вследствие несовершенства изоляции между проводами линии и емкости, образованных противостоящими друг другу элементами линии.
Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины и если равны друг другу все поперечные сопротивления участков линии одинаковой длины, т.е. линия однородна, если
Z 1 = Z 2 = Z 3
Z 4 = Z 5 = Z 6
Если не равны продольные или поперечные сопротивления, то линию называют неоднородной.
Кроме того линии с распределенными параметрами подразделяются на две большие группы: линейные и нелинейные.
В нелинейных линиях с распределенными параметрами продольные или поперечные сопротивления являются функциями протекающих по ним токов.
В линейных линиях – продольные и поперечные сопротивления не являются функциями токов.
Линии с распределенными параметрами связаны с понятиями: мощные линии электропередач, телефонные и кабельные линии, антенны в радиотехнике.
Но в принципе можно называть линией с распределенными параметрами, когда линии, казалось бы, и нет, например, индуктивная катушка на высоких частотах.
В качестве цепи с распределенными параметрами будем рассматривать однородную двухпроводную линию, т.е. линию, у которой равномерно распределены вдоль L0, C0, R0 и G0. Эти параметры, отнесенные к единице длины, называют первичными параметрами линии.
Первичные параметры определяются из теории электромагнитного поля.
Дифференциальные уравнения однородной линии с распределенными параметрами
Напряжение и ток в линии являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты x, определяющей место наблюдения и времени t, определяющего момент наблюдения.
Рассмотрим участок цепи однородной линии:
Верхний провод двухпроводной линии называют прямым, а нижний обратным. Считают, что первичные, погонные или собственные параметры ДЛ 
известны. При этом 
– продольное активное сопротивление единицы длины линии прямого и обратного проводов; 
– индуктивность петли, образуемой прямым и обратным проводами; 
– поперечная проводимость между проводами, причем G0 не является обратной величиной продольного сопротивления R0; 
– емкость между проводами.
Разобьем линию на участки длиной dx, где x – это расстояние, отсчитываемое от начала линии до рассматриваемого сечения.
На длине dx активное сопротивление равно R0dx; индуктивность - L0dx; проводимость утечки - G0dx.
Ток в начале участка dx обозначим через i, а напряжение между проводами линии в начале участка линии – u(t).
Напряжение u(t) и ток i(t) являются функциями расстояния и времени.
Если для некоторого момента времени t ток в начале рассматриваемого участка равен i(t), то в результате утечки в конце этого же участка для того же момента времени будет равен:
, где
– скорость изменения тока в направлении x.
Скорость, умноженная на расстояние dx, является приращением тока на пути dx.
Аналогично для напряжения u, в конце участка напряжение будет равно:
.
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образуемого участком dx.
или
Или после упрощений:
По первому закону Кирхгофа:
Ток di определяется суммой токов через G0dx и C0dx
Пренебрегая слагаемыми второго порядка, получим:
И подставляя в уравнение по первому закону Кирхгофа, получим основное дифференциальное уравнение линии с распределенными параметрами:
Уравнения могут быть решены при использовании начальных и граничных условий.
Решение уравнений дает функциональные зависимости 
и 
в лини от переменных x и t.