Угол между скрещивающимися прямыми

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Две пересекающиеся прямые		Две прямые называют пересекающимися прямыми, если они имеют единственную общую точку.
Две параллельные прямые		Две прямые называют параллельными прямыми, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек
Две скрещивающиеся прямые		Две прямые называют скрещивающимися прямыми, если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Тип утверждения и формулировка
Две различные точки		Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой		Аксиома о параллельных прямых Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.
Две пересекающиеся прямые		Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Две параллельные прямые		Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).

Рис.1

Доказательство. Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «От противного».

Для этого предположим, что прямая a, пересекающая плоскость в точке K, и прямая b, лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α. Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K, не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости. Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость, а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым (рис. 2).

Рис.2

На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b. Прямая a' параллельна прямой a, прямая b' параллельна прямой b. Прямые a' и b' пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b.

Задача. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найти угол между прямыми AB ₁ и BC ₁.

Решение. Поскольку прямая AB ₁ пересекает плоскость BB ₁ C ₁ в точке B ₁, которая не лежит на прямой BC ₁, то по признаку скрещивающихся прямых прямые AB₁ и BC ₁ скрещиваются (рис. 3).

Рис.3

Для того, чтобы найти угол между прямыми AB ₁ и BC ₁, проведем в кубе диагональ боковой грани AD ₁ и диагональ верхнего основания D ₁ B ₁ (рис. 4).

Рис.4

По определению угла между скрещивающимися прямыми угол D ₁ AB ₁ и является углом между прямыми AB ₁ и BC ₁. Поскольку треугольник AD ₁ B ₁ равносторонний, угол D ₁ AB ₁ равен 60°.

Ответ. 60°.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Признак параллельности прямой и плоскости

Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве представлены в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Формулировка
Прямая лежит на плоскости (принадлежит плоскости)		Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости. Замечание. Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.
Прямая пересекает плоскость		Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.
Прямая параллельна плоскости		Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)

Утверждение 1. Предположим, что прямая a и плоскость α параллельны, а плоскость β проходит через прямую a.Тогда возможны два случая:

1. Плоскость β параллельна плоскости α (рис.1);
2. Плоскость β пересекает плоскость α. В этом случае прямая b, которая является линией пересечения плоскостей α и β, будет параллельна прямой a (рис.2).

Рис.1	Рис.2

Доказательство. Рассмотрим случай 2 и предположим противное. Предположим, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке P (рис.3).

Рис.3

Но тогда точка P оказывается точкой пересечения прямой a и плоскости α, и мы получаем противоречие с тем, что прямая a и плоскость α параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.

Утверждение 2 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая a, не лежащая в плоскости α, параллельна некоторой прямой b, лежащей в плоскости α, то прямая a и плоскость α параллельны.

Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости "от противного". Предположим, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке P. Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b (рис. 4).

Рис.4

Точка P лежит на прямой a и принадлежит плоскости β. Но по предположению точка P принадлежит и плоскости α, следовательно точка P лежит на прямой b, по которой пересекаются плоскости α и β. Однако прямые a и b параллельны по условию и не могут иметь общих точек.

Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
Признаки параллельности двух плоскостей

Признаки параллельности плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Две пересекающиеся плоскости		Две плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.
Две параллельные плоскости		Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.