Б класс. ТЕМА «ВЕКТОРЫВ ПРОСТРАНСТВЕ»
Урок 5. Компланарные векторы Дата: 19.11.21
Вспомните:
1) Что называется вектором в пространстве и как его обозначают?
2) Какой вектор называется нулевым и как он обозначается?
3) Что называется длиной вектора и как ее обозначают?
4) Какие векторы называются коллинеарными?
5) Какие векторы называются сонаправленными и как они обозначаются?
6) Какие векторы называются противоположнонаправленными и как они обозначаются?
7) Какие векторы называются равными?
Посмотрите презентацию.
Давайте рассмотрим рисунок. Сравните тройки векторов (
) и (
). Выделите общее и различное между этими двумя тройками векторов.
( Обе тройки векторов отложены от одной и той же точки. Первые три вектора лежат в одной плоскости. Векторы не лежат в одной плоскости.)
Теперь сравните тройки векторов (
) и (
). Что вы можете сказать о них? (Если эти векторы отложить от одной точки, то мы получим векторы () и (), где () лежат в одной плоскости, а () не лежат в одной плоскости)
Тройки векторов и (
) называют тройками компланарных векторов, а тройки векторов и (
) не задают компланарных векторов.
Самое время познакомиться с существенным и одним из главных отличий векторов на плоскости и векторов в пространстве – понятие компланарных векторов.
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Другими словами, векторы называются компланарными, если имеют равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны.
Если рассмотреть три вектора, то они могут быть как компланарными, так и некомпланарными.
В каком случае они будут компланарными?
Изобразим этот случай.
Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов можно изобразить равный в этой плоскости.
Так мы получаем, что два вектора всегда будут компланарными, а три вектора будут компланарными, если среди них есть пара коллинеарных векторов.
Задача.
– прямоугольный параллелепипед. Компланарны ли векторы 
?
Решение. Через векторы 
проведем плоскость 
, 
– компланарны
В данном задании мы, пользуясь определением, выяснили компланарны данные тройки векторов или нет.
Также существует признак компланарности трех векторов.
Если вектор 
можно разложить по векторам 
и 
, т.е. представить в виде 
, где 
и 
– некоторые числа, то векторы 
компланарны.
Давайте докажем данный признак.
Векторы 
не коллинеарны (если векторы коллинеарны, то компланарность векторов 
очевидна).
Отложим от произвольной точки 
векторы 
(рис).
Векторы 
лежат в плоскости 
. В этой же плоскости лежат векторы 
, следовательно и их сумма – вектор 
, равный вектору .
Итак, векторы 
лежат в одной плоскости, т.е. векторы компланарны.
Также справедливо и обратное утверждение: Если векторы компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Докажите его самостоятельно дома.
Закрепление нового материала
| Компланарные векторы | |
| Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости | |
| Т.1: Любые два вектора компланарны | |
| Т.2: три вектора, среди которых имеется два коллинеарных, так же компланарны | |
| Признак компланарности трех векторов | Свойство трех компланарных векторов |
| Если вектор можно разложить по векторам и , то есть представить в виде: (х, у - некоторые числа), то векторы , и - компланарны.
| Если векторы ,  компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты разложения определяются единственным образом
|
Рассмотреть задачу на слайдах 5-8.
Решение упражнений по теме.
Решить № 355 (решение на слайдах 10-12)
Домашнее задание: П.43 учить определения, доказать обратное утверждение признака компланарности трех векторов. Вопросы к главе: № 13-15, выполнить № 357, № 374.