Лабораторная работа №3
ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРИИ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
Цель работы
Задачей данной работы является ознакомление с простей-шим случаем затухающих колебаний пружинного маятника
ПРИБОРЫИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
- набор пружин и грузов
- измерительная установка для отсчета отклонений грузов
- секундомер
МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
 |
Пружинный маятник – это грузик, подвешенный на пру-жине (рис. 3.1). После отклонения от положения равновесия он будет совершать вертикальные гармонические колеба-ния, если упругая пружина такова, что сила деформации пропорциональна величине удлинения пружины (
, где 
– коэффициент упругости).
Колебания грузика описываются уравнением:
. (3.1)
Это – дифференциальное уравнение собственных незату-хающих колебаний с частотой:
.
 |
Если в колеблющейся системе действуют диссипативные силы типа сил трения, пропорциональные скорости, то ко-лебания системы будут затухающими (рис. 3.2).
Уравнение колебаний будет иметь вид:
, (3.2)
где 
– коэффициент затухания колебаний.
Решение дифференциального уравнения (3.2) имеет вид:
. (3.3)
Из выражения (3.3) видно, что амплитуда колебаний уменьшается со временем по закону:
. (3.4)
Период затухающих колебаний больше периода собст-венных незатухающих колебаний:
, (3.5)
. (3.6)
Затухание колебаний принято характеризовать логариф-мическим декрементом затухания:
. (3.7)
Учитывая, что 
,
. (3.8)
Пусть 
будет отклонение, которое имеет место через время 
, т.е. через 
колебаний после отклонения 
. Тогда можно записать:
,
откуда
,
(3.9)
Для пружинного маятника, колеблющегося в воздухе, ве-личина логарифмического декремента лежит в пределах от 0,01 до 0,1. Из теории затухающих колебаний следует, что вид 
имеет вид прямой. Здесь 
– амплитуда колебания.
Энергия колебательного движения изменяется по закону
, (3.10)
где 
– постоянная времени затухания (время релаксации), показывающая, что амплитуда колебания уменьшается за время в 
раз. – величина, обратная коэффициенту затухания 
.
Из (3.10) видно, что энергия осциллятора расходуется на работу против диссипативных сил и превращается во внут-реннюю энергию.
Мощность потерь, т.е. скорость рассеяния энергии, с од-ной стороны,
,
а с другой, с учетом (3.10),
. (3.11)
Качество колебательной системы, ее способность сохра-нять запасенную энергию характеризуется добротностью Q, которая определяется отношением запасенной энергии к потерям за время 
. (3.12)
C учетом (3.11) выражение для добротности принимает вид:
. (3.13)
Из (3.13) следует, что добротность колебательной сис-темы равна числу колебаний за время 
; причем за это время амплитуда уменьшается в 
раза, а энергия в 
раз.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
Упражнение 1
1.Эксперимент проводят по схеме рис. 3.1.
2. Несколько раз (4-5) измерить время 
, за которое гру-зик совершит 
колебаний. Полученные значения занести в таблицу 1. Вычислить средний период затухаю-щих колебания по формуле:
.
Вычислить среднее значение периода 
, абсолютную 
и относительную ошибку измерений. Результат занести в таблицу 1.
Таблица 1
Определение среднего значения периода
| № пп | Число колебаний 
| Время колебаний 
| Период колебаний 
| 
|
|
| … | |||||
Упражнение 2
3. Установить первоначальное значение амплитуды (наибольшее отклонение от положения равновесия) 
око-ло 5 см. Отпустив грузик, одновременно измерить время 
и число полных колебаний 
, за которое амплитуда умень-шится на 50% от первоначальной величины: 
. Провести данный опыт не менее 5 раз при одном и том же значении . Полученные значения занести в таблицу 2. Вычислить средние значения 
и 
, Результат занести в таблицу 2.
Таблица 2
| № пп | Число колебаний
| Время колебаний 
| 
| 
| 
| 
|
| … | ||||||
4. Вычислить значение коэффициента затухания:
и его абсолютную ошибку
,
где 
– относительная ошибка 
.
5. Вычислить коэффициент сопротивления:
и его абсолютную ошибку
6. Рассчитать время релаксации:
и его абсолютную ошибку
7. Рассчитать значение логарифмического декремента затухания:
и его абсолютную ошибку
где 
– относительная ошибка 
.
8. Вычислить теоретическое значение логарифмического декремента затухания
,
взяв значение 
из п.2, а значение 
– из п.4.
Найти относительную ошибку
где 
и 
– относительные ошибки и .
Рассчитать абсолютную ошибку
Сравнить теоретическое и экспериментальное значение логарифмического декремента из пп.7,8 с учетом ошибок измерений и сделать вывод.
9. Вычислить значение добротности:
используя значение из п.2, а – из п.4.
Рассчитать относительную ошибку добротности, исполь-зуя относительные ошибки и :
и абсолютную ошибку
.
Упражнение 3
10. Одеть на грузик пластину для увеличения сопротив-ления воздуха. Схема эксперимента представлена на рис. 3.3. Повторить пп. 3-9. Результаты занести в таблицу 3, анало-гичную таблице 2. Сравнить полученные значения коэффи-циента затухания и логарифмического декремента 
, сделать выводы.
 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Оцените относительную ошибку в определении .
2. Сформулируйте основное предположение метода наи-меньших квадратов (МНК), используйте МНК при постро-ении графиков.
3. Начертите график Т2=f(m) по МНК.
4. Оцените абсолютную и относительную ошибку при из-мерении массы.
5. Оцените абсолютную и относительную ошибку в опре-делении 
(наклона прямой).
6. Начертите график Т2=f(m) по МНК.
7. Найдите по графику среднее значение К.
8. Оцените, совпадают ли и с какой точностью значения Кi , полученные по графику и рассчитанные в упражнении 1.
9. Объясните, почему не рекомендуется брать большие зна-чения начальной амплитуды А0?
10. Оцените относительную погрешность измерения А0 и А(t),
11. Оцените относительную погрешность определения ло-гарифмического декремента затухания 
12. Оцените относительную погрешность определения ко-эффициента сопротивления b.
13. Оцените абсолютную и относительную погрешность определения периода (в упражнении 1).
14. Выведите уравнение для энергии затухающих колеба-ний в зависимости от времени, нарисуйте график.
15. Объясните, что характеризует время релаксации (пос-тоянная времени затухания).
16. Оцените мощность потерь энергии.
17. Укажите, как связаны добротность и время релакса-ции.
18. Выведите уравнение затухающих колебаний?
19. Чем определяется период затухающих колебаний?
20. Как зависит от времени амплитуда затухающих ко-лебаний?
21. Как связан логарифмический декремент затухания и амплитуда колебаний?
22. Как связан логарифмический декремент затухания с коэффициентом сопротивления и периодом?
23. Выведите выражение для энергии затухающих коле-баний.
24. Как связаны потери энергии и добротность?
25. Определите выражение для добротности контура.
26. Как связаны добротность и логарифмический декре-мент затухания?
27. Определите время релаксации. Свяжите его с коэф-фициентом сопротивления и логарифмическим декремен-том.
28. Какими являются колебания в данной работе – зату-хающими или незатухающими?
29. При каком значении коэффициента сопротивления ко-лебания прекращаются?
30. Чем отличаются колебания пружинного маятника в го-ризонтальной и вертикальной плоскости?