Лабораторная работа №2
ИССЛЕДОВАНИЕ затухающих крутильных колебаний
Цель работы
Определение параметров колебательной системы – кру-тильного маятника с затуханием, колебания которого слу-жат моделью движения во многих задачах классической и квантовой физики.
Описание экспериментальной установки
 |
Крутильный маятник (рис.2.1) представляет собой диск, закрепленный на упругой проволоке, другой конец которой зажат в неподвижном кронштейне. Для получения значений углов j поворота маятника служит градуированная шкала на диске.
Для проведения измерений диаметра проволоки, диамет-ра дисков, длины подвеса служат штангенциркуль и масштаб-ная линейка (указанные параметры установки могут быть заданы).
При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, на малый угол j происходит закручивание проволоки. При этом возникает возвращающий момент упругих сил, равный
, (2.1)
где 
– коэффициент кручения, зависящий от упругих свойств подвеса.
Используя уравнения динамики вращательного движения для крутильных колебаний, получаем
(2.2)
или
, (2.3)
где 
– момент инерции диска.
Учитывая, что круговая частота гармонических колеба-ний определяется как
, (2.4)
то из уравнения (2.3) и (2.4) имеем, что частота и период колебаний крутильного маятника равны соответственно
, (2.5)
. (2.6)
В реальных колебательных системах (осцилляторах) про-исходит диссоциация (рассеяние) запасенной энергии, и сво-бодные колебания со временем затухают. Для учета процес-са рассеяния энергии в дифференциальное уравнение движения (2.3) необходимо ввести слагаемое, характеризу-ющее силу сопротивления движению:
, (2.7)
где 
– обобщенный коэффициент сопротивления, который для крутильного маятника является коэффициентом про-порциональности между тормозящим моментом (
) и уг-ловой скоростью 
:
. (2.8)
Решение уравнения (2.7) имеет вид:
(2.9)
где 
– постоянная времени затухания, показывающая, что амплитуда колебаний
уменьшается за время в 
раз.
Для крутильного маятника
. (2.10)
Частота затухающих колебаний
(2.11)
меньше собственной частоты 
.
С увеличением момента трения постоянная времени 
уменьшается, и при 
частота 
(2.11) становится мнимой, колебания крутильного маятника прекращаются – движение становится апериодическим. Переход колебатель-ного движения в апериодическое происходит при условии, когда
. (2.12)
Энергия колебательного движения изменяется по закону
, (2.13)
т.е. энергия осциллятора расходуется на работу против диссипативных сил и превращается во внутреннюю энергию.
Мощность потерь, т.е. скорость рассеяния энергии, с од-ной стороны,
,
а с другой, с учетом (2.13),
. (2.14)
Качество колебательной системы, ее способность сохра-нять запасенную энергию характеризуется добротностью Q, которая опре-деляется отношением запасенной энергии к потерям за время
; 
. (2.15)
Тогда с учетом (2.14) выражение (2.15) принимает вид:
. (2.16)
Из (2.16) следует, что добротность колебательной систе-мы равна числу колебаний за время 
; причем за это время амплитуда уменьшается в 
раза, а энергия в 
раз.
Затухание колебаний принято характеризовать логариф-мическим декрементом затухания:
, (2.17)
где 
– коэффициент затухания колебаний.
Следует отметить, что при малых декрементах затухания колебаний 
, т.е. при большой добротности 
осцил-лятора и с учетом (2.16), добротность равна:
. (2.18)