Основные теоремы и факты
| Прямые параллельны, если: -накрест лежащие углы равны; -соответственные углы равны; -сумма односторонних углов равна 1800 . -Через точку, не лежащую на прямой можно провести прямую параллельную данной и только одну. | -Сумма углов выпуклого п-угольника равна (п-2)1800 -Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 3600 . -В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны. -Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам -Диагонали прямоугольника равны -Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. | Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. -Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окр - ти. -Квадрат отрезка касательной к окружности равен произведению отрезков секущей, проведённой из той же точки. |
| Треугольники равны, если равны: -сторона и прилежащие углы одного треугольника стороне и прилежащим углам др; -две стороны и угол между ними одного треугольника двум сторонам и углу между ними другого; -три стороны одного треугольника трём сторонам другого. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и биссектрисой. | - Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. -если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. -Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. -Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. | -Вписанный угол измеряется половиной градусной меры дуги, на которую он опирается. -Центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается. -Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой. |
| Два треугольника подобны, если: -два угла одного равны двум углам другого; - стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключённые между этими сторонами равны; -три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого. -Если на одной из двух прямых отложить несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекают на второй прямой равные отрезки. | Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема синусов. В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. | Центр окружности вписанной в треугольник лежит в точке пересечения биссектрис углов треугольника. -Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. -Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность. -Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность. |
Углы
1. В равнобедренном треугольнике угол при вершине, противолежащей основанию, равен 580.Найдите угол при основании. Ответ дайте в градусах.
2. В треугольнике АВС внешний угол при вершине А равен 125 0, а внешний угол при вершине В равен 590.Найдите угол С.. Ответ дайте в градусах.
3. В треугольнике АВС проведена высота СН, которая делит угол С на два угла, величины которых 470 и 710. Найдите наименьший из двух оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
4. В параллелограмме АВСМ прямая АС делит угол при вершине А пополам. Найдите угол, под которым пересекаются диагонали параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
5. Угол А равнобедренной трапеции АВСD с основаниями ВС и AD равен 530. Найдите сумму углов В и С.
6. Два угла ромба относятся как 4:6. Найдите меньший угол Ответ дайте в градусах.
7. Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.
8. Найдите центральный угол АОВ, если он на 670 больше вписанного угла АСВ, опирающегося на ту же дугу.
Задачи повышенного уровня
9. Сумма углов А и В вписанного четырёхугольника АВСD равна 2040, а сумма углов В и С равна 1920. Найдите угол D.
10. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
11. Докажите, что градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
12. Докажите, что если биссектриса пересекает основание трапеции, то от трапеции отсекается равнобедренный треугольник.
13. Биссектрисы всех внутренних углов параллелограмма попарно пересекаются. Докажите, что полученный четырёхугольник является прямоугольником.
14. Биссектриса угла В треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины С, в отношении 7:2, считая от вершины С. В каком отношении, считая от вершины А, эта биссектриса делит медиану, проведённую из вершины А?
