Понятие комплексного числа

Комплексные числа

Комплексные числа действительно становятся наиболее интересной темой, после того, как студенты знакомятся с другими разделами высшей алгебры.

Сначала вспомним «обычные» школьные числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обо­значаются буквой . Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

К действительным числам относятся– целые числа, дроби, иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве. Если хо­тите, комплексное число – это двумерное число

Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называе­мая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .

– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изме­нится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чи­сел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось
– мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно за­дать размерность, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, ,
, ,
, , ,

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действитель­ные числа! И будете почти правы.

Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множе­ство действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чи­сел .

Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.

Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма ком­плексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет далее.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.