В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже.
Любое комплексное число (кроме нуля) 
можно записать в тригонометрической форме:
,
где 
– это модуль комплексного числа, а 
– аргумент комплексного числа.
Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что 
:
Модулем комплексного числа 
называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.
Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или 
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: 
. Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».
Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси 
и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: 
.
Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или 
Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.
Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.
Пример 7
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: 
, 
, 
, 
.
Выполним чертёж:
На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:
Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.
1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что 
. Формальный расчет по формуле: 
.
Очевидно, что 
(число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: 
.
Ясно, как день, обратное проверочное действие: 
2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что 
. Формальный расчет по формуле: 
.
Очевидно, что 
(или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: 
.
Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что 
. Формальный расчет по формуле: 
.
Очевидно, что 
(или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: 
.
Проверка: 
4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что 
. Формальный расчет по формуле: 
.
Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: 
(270 градусов), и, соответственно: 
. Проверка: 
Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: 
(минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что и – это один и тот же угол.
Таким образом, запись принимает вид: 
Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:
Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):
1) Если 
(1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .
2) Если 
(2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле 
.
3) Если 
(3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле 
.
Пример 8
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: 
, 
, 
, 
.
Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить. Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.
Я представлю в комплексной форме числа 
и 
, первое и третье числа будут для самостоятельного решения.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку (случай 2), то 
– вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение 
, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
– число в тригонометрической форме.
Расскажу о забавном способе проверки. Если вы будете выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, который у меня (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол.
Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа . Вы убедитесь, что действительно 
. Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно 
.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку (случай 1), то 
(минус 60 градусов).
Таким образом:
– число в тригонометрической форме.
А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.
Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол 
– это в точности табличный угол 
(или 300 градусов):
– число в исходной алгебраической форме.
Числа и представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.