Найти вероятность того, что: 1) наугад взятое зерно взойдет, 2) это будет зерно первого сорта.

Решение:

Если некоторое событие А совершается с одним из несовместных событий Н₁, Н₁, …, Н_n, которые образуют полную группу и называются гипотезами, то для определения вероятности этого события используют формулу полной вероятности:

,

где - вероятность гипотезы ;

- условная вероятность события А.

В нашей задаче обозначим события:

1) А – взойдет наугад взятое зерно.

Гипотезы: Н₁ – взято зерно I сорта,

Н ₂ – взято зерно II сорта,

Н ₃– взято зерно III сорта.

Т.к. зерно первого сорта составляет 30%, то = 0,3.

Аналогично: = 50% = 0,05; = 20% = 0,2.

Гипотезы составляют полную группу событий, поэтому сумма вероятностей гипотез должна быть равна 1, проверим:

0,3+0,5+0,2 = 1

Найдем условные вероятности:

= 0,8- вероятность того, что взойдет взятое зерно первого сорта, = 0,6 - вероятность того, что взойдет взятое зерно второго сорта, = 0,4 - вероятность того, что взойдет взятое зерно третьего сорта.

Используем формулу (10.8), в которой будет три слагаемых:

P(A)= 0,3×0,8+0,5×0,6+0,2×0,4= 0,62

Для определения вероятности события Н_i при условии, что событие А произошло, используют формулу Байеса:

В нашем случае:

Тема 2. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Асимптотические формулы Лапласа, Пуассона (задачи 21-40). Перед выполнением задач необходимо изучить вопросы 1.3 первого раздела дисциплины и разобрать решение задач 4,5,6.

21. Каждый пятый клиент банка приходит в банк брать проценты с вклада. Сейчас в банке ожидают своей очереди обслуживания шесть человек.. Найти вероятность того, что из них будут брать проценты: а) четыре человека;

б) менее двух.

22. Прибор состоит из шести узлов. Вероятность безотказной работы для каждого узла равна 0,7. Найти вероятность того, что из шести узлов выйдут из строя: а) два; б) менее двух узлов.

23. Студенты высадили семь деревьев. Вероятность, что каждое дерево приживется, равна 0,6. Найти вероятность того, что из семи деревьев приживутся: а) пять; б) не менее шести деревьев.

24. Некоторая фирма в долгосрочном периоде может войти на рынок с вероятностью 60%. Определить вероятность того, что в данный период из семи подобных фирм: а) четыре фирмы преодолеют «барьер вхождения»; б) преодолеют не более двух.

25. Всхожесть семян некоторой культуры составляет 90%. Найти вероятность того, что на опытном участке из шести посеянных семян взойдут: а) четыре; б) более четырех.

26. Вероятность появления бракованной детали равна 0,006. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей бракованных окажется: а) три; б) не более двух.

27. Книга издана тиражом 1000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки, равна 0,002. Найти вероятность того, что тираж содержит неправильно сброшюрованных книг: а) ровно пять; б) не менее двух.

28. Вероятность банкротства некоторого предприятия в сфере гостиничного бизнеса равна 0,0005. Определить вероятность того, что среди 2000 таких предприятий обанкротятся: а) ровно два; б) более двух.

29. Известно, что на поле у 2% кустов картофеля, стебли поражены фитофторой. Найти вероятность того, что из 300 кустов картофеля фитофторой будут поражены: а) четыре куста: б) менее двух кустов.

30. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,005. Найти вероятность того, что после облучения из 400 бактерий останется: а) пять бактерий; б) более двух бактерий.

31-40. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна p. Какова вероятность, что при n испытаниях успех наступит: 1) равно m₁ раз, 2)не менее m₁ раз и не более m₂ раз.