Задача 4. Посажено 5 деревьев, вероятность того, что дерево приживется, равна 
. Какова вероятность, что приживется: а) ровно 3 дерева, б) не менее трех деревьев.
Решение:
Если n - число всех проведенных испытаний,
– вероятность появления события А в каждом испытании,
|
– вероятность не появления события А в каждом испытании, тогда вероятность 
того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:
где 
- число сочетаний из n по m.
В нашей задаче дано: n= 5; p= 
. Требуется найти: а) P5 (3); б) P5(m ³ 3).
Задачу решаем, используя формулу Бернулли.
Найдем q=1 - p=1- = 
,
а) 
б) Искомое событие состоит в том, что из пяти посаженных деревьев приживутся или три, или четыре, или пять.
Таким образом 
Вычислим отдельно каждое слагаемое:
; 
; 
.
Задача 5. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа выйдут из строя: а) два автомата, б) не менее двух автоматов.
Решение.
Формулу Бернулли удобно применять при n£10. При большем значении n (n>10) применяют асимптотические формулы, т.е. приближенные формулы.
При больших значениях n (n®¥) и малых p (p®0), т.е. при a = n×p < 10, применяют формулу Пуассона:
В нашей задаче дано: n=1000 (велико); p= 0,004 (мало), тогда: n×p=1000×0,004=4<10.
а) m =2; 
, значение вероятности нашли по таблице 1 (см. приложение).
б) Пусть событие В – выйдут из строя не менее двух автоматов, т.е. от 2 до 1000. Рассмотрим событие 
- противоположное событию В, которое состоит в том, что из строя выйдет меньше двух автоматов, т.е. один или ни одного, тогда: 
или 
или 
Задача 6. На предприятии работник за смену изготовляет 900 деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта, равна 0,9. Какова вероятность, что деталей первого сорта: а) будет ровно 800 штук;2) будет заключено между 800 и 860.
Решение.
а) Если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает локальную теорему Муавра – Лапласа.
Применяется при больших значениях n (n®¥) и 0<p<1 (не слишком малом), n×p ³ 10. Функция 
- затабулирована (см. таблицу 2 приложения), при этом следует учитывать, что;
а) 
- функция четная, таблица составлена для x ³ 0;
б) 
= 0 при x³ 4.
В нашей задаче n=900 (велико, n>>10) и p=0,9 (не очень малое число), m = 800. Найти: 
.
Найдем значение q= 1- p=1 - 0,9=0,1
Решение можно оформить следующим образом:
1) np = 900×0,9 = 810
2) 
3) 
4) 
- использовали свойство четности, значение нашли по таблице 2 приложения.
5) 
.
б) Для решения этой задачи используем интегральную теорему Лапласа.
Применяется при вычислении вероятности того, что событие А в n независимых испытаниях появится не менее m1 и не более m2 раз при условии, что n велико (n®¥), 0<p<1 (не слишком мало).
Функция Ф(x) называется интегральной функцией Лапласа, ее значения затабулированы (см. таблицу 3 приложения), при пользовании таблицей следует учесть, что:
а) Ф(-x)=- Ф(x) – функция нечетная;
б) Ф(x) =0,5 при x³5.
В нашей задаче n=900 (велико), p=0,9 (не очень мало), также даны границы изменения m: m1=800; m2=860.
Найти: 
.
Найдем значение q= 1- p=1 - 0,9=0,1
Решение можно оформить следующим образом:
1) np=810; 
2) 
9
3) 
; 
4) 
Ф(x2)-Ф(x1) = Ф(5,56)-Ф(-1,11)=Ф(5,56)+Ф(1,11)=
0,5 + 0,3665 = 0,8665
При нахождении значений Ф(x1) и Ф(x2) использовали свойство нечетности функции Ф(x) и Ф(5,56) =0,5 т.к. x >5, для нахождения Ф(1,11) пользовались таблицей 3 приложения.
Тема 3. Дискретная случайная величина, ее числовые характеристики. (задачи 41-60). Перед выполнением задач необходимо изучить вопросы