Операции над множествами

Способы задания множеств. Операции над множествами.

Основные соотношения алгебры множеств.

Цель работы: изучение способов задания множеств. Приобретение практических навыков в выполнении операций над множествами и проверке основных соотношений алгебры множеств.

Теоретическая справка

Множество - объединение в одно целое различимых между собой элементов.

Конечное множество - множество, состоящее из конечного числа элементов.

Бесконечное множество - множество, состоящее из бесконечного числа элементов.

Способы задания множеств

1) Перечисление элементов.

Например:

А = {1,3,5,6,889,-10}

2) Задание определяющего свойства.

Например:

X = { x | 1 > х > 5, x є Z };

А = { a² | a - четное число}.

Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается Æ.

Универсальное – множество, содержащее все возможные элементы. Универсальное множество обозначается U.

Утверждение " а является элементом множества А " записывается в виде а Î А (а принадлежит множеству А).

Утверждение " а не является элементом множества А " записывается в виде а Ï А (а не принадлежит множеству А).

Множества А и В называются равными (обозначается А = В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Если каждый элемент множества А является также элементом множества В, то говорят, что А содержится или включается в В. В этом случае пишут А Í В.

Множество A называется подмножеством множества B,если A Í B.

В тех случаях, когда одновременно имеют место соотношения A Í B и A ¹ B, говорят, что A строго включается в B, и используют запись A Ì B.

Операции над множествами

Объединением множеств A и B (обозначается A È B) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, т.е

A È B = { а ½ а Î A или а Î B }.

Пересечением множеств A и B (обозначается A Ç B) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, т.е.

А Ç B = { а ½ а Î А и а Î B }.

Разностью множеств А и B (обозначается А \ B) называется множество, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B, т.е.

А \ B ={ а ½ а Î А и а Ï B }.

Дополнением множества А в универсальном множестве U (обозначается , ØА) называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству А, т.е.

ØА = U \ A

Симметрической разностью множеств A и B (обозначается A Å B или A D B) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих в точности одному из этих множеств, т.е.

A D B = { а ½ либо а Î A и а Ï B, либо а Ï A и а Î B }

A D B = (A \ B) È (B \ A) = (A È B) \ (A Ç B)

Операции над множествами можно проиллюстрировать графически с помощью кругов Эйлера (их также называют диаграммами Венна). В этом случае исходные множества изображают кругами, а множество-результат выделяют штриховкой.